高斯消元模板(+解異或方程組)

原題鏈接是hiho第56周：http://hihocoder.com/contest/hiho56/problem/1

用來練手高斯消元，該模板只能判斷無解，多解（不能判斷有幾個自由變元）和小數解的情況（可以用強制轉換變成整數）

//其中a爲方程組等號左邊的矩陣，b爲原方程組右邊的值，temp爲輔助數組，val爲答案,代表等號左邊xi的值

double a[maxn * 2][maxn];//等號左邊的矩陣
double b[maxn * 2];//等號右邊的值
double temp[maxn * 2];
double val[maxn * 2];
void swap_line(int i,int j)//交換一整行，等號左邊右邊和原val都要交換
{
	memcpy(temp,a[j],sizeof(temp));
	memcpy(a[j],a[i],sizeof(temp));
	memcpy(a[i],temp,sizeof(temp));
	swap(b[i],b[j]);
}
int n,m;
//這裏的n爲等號左邊矩陣的列數，如果等號左邊也在a中則n要+1，把b數組去掉，放到a數組的最後一個元素後面，列數爲1~n
//m爲行數，行數爲1~m
int Gauss()

{//處理上三角矩陣
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int flag = 0;
		for(int j = i;j <= m;j++)//從第i行開始，找到第i列不等於0的行j
			if(fabs(a[j][i]) > eps)
			{
				swap_line(j,i);
				flag = 1;
				break;
			}
		if(!flag)//若無法找到，則存在多個解
			return 2;//解多餘一個
		//消除第i+1行到第m行的第i列
		for(int j = i + 1;j <= m;j++)
			temp[j] = a[j][i] / a[i][i];
		for(int j = i + 1;j <= m;j++)
		{
			for(int k = 1;k <= n;k++)
				a[j][k] = a[j][k] - a[i][k] * temp[j];
			b[j] = b[j] - b[i] * temp[j];
		}
	}
	//檢查是否無解，即存在0 = x的情況
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		if(fabs(b[i]) < eps)continue;
		int all_zero = 1;//假設第i列係數均爲0
		for(int j = 1;j <= n;j++)
			if(fabs(a[i][j]) > eps)
			{
				all_zero = 0;break;
			}
		if(all_zero)
			return 0;//無解
	}
	//此時存在唯一解
	//由於每一行都比前一行少一個係數，所以在m行中只有前n行有係數
	//從第n行開始處理每一行的解
	for(int i = n;i >= 1;i--)
	{//利用已經計算出的結果，將第i行中第i+1列至第n列的係數消除
		for(int j = i + 1;j <= n;j++){
			b[i] = b[i] - a[i][j] * val[j];
			a[i][j] = 0;
		}
		val[i] = b[i] / a[i][i];
	}
	return 1; //唯一解
	//最後的答案存放在val數中，注意解可能是小數
}

高斯消元的除了解普通的方程組外，還有一種經典的問題---解異或方程組

題目鏈接：http://hihocoder.com/contest/hiho57/problem/1

經典問題題意：有一個矩陣放置的燈泡，狀態分別爲打開或者關閉。打開或者關閉當前燈泡會影響它的上下左右相鄰的燈泡的狀態（打開變關閉，關閉變打開）。問有沒有方法使所有燈泡全開（或全關？），並輸出應該操作哪些燈泡。

做法：具體的做法在hiho的鏈接裏面有講，不再細講，僅貼出代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define FOR(i,a,b) for(int i = a;i <= b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 55;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-7;



//其中a爲方程組等號左邊的矩陣，b爲原方程組右邊的值，temp爲輔助數組，val爲答案,代表等號左邊xi的值
//其中異或方程組無解的情況是出現000000000...  最後一個是1的行，那麼原異或方程組無解
int a[maxn][maxn];//等號左邊的矩陣
int b[maxn];//等號右邊的值
int temp[maxn];
double val[maxn];
int n,m;
//這裏的n爲等號左邊矩陣的列數，如果等號左邊也在a中則n要+1，把b數組去掉，放到a數組的最後一個元素後面，列數爲1~n
//m爲行數，行數爲1~m
int Gauss()
{//處理上三角矩陣
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int flag = 0;
		int jilu;
		for(int j = i;j <= m;j++)//從第i行開始，找到第i列不等於0的行j
			if(a[j][i])
			{
				for(int t = 1;t <= n;t++)
					swap(a[i][t],a[j][t]);
				swap(b[i],b[j]);
				jilu = i;
				flag = 1;
				break;
			}
//		if(!flag)//若無法找到，則存在多個解
//		continue;	
		for(int j = 1;j <= m;j++)
		if(a[j][i] == 1 && j != jilu)
		{
			for(int k = i;k <= n;k++)
				a[j][k] = a[j][k] ^ a[i][k];
			b[j] = b[j] ^ b[i];
		}
	}
}
char ma[7][8];
int dx[] = {0,0,1,-1};
int dy[] = {1,-1,0,0};
int main()
{
	string s;
	for(int i = 1;i <= 5;i++)
		for(int j = 1;j <= 6;j++)
			scanf(" %c",&ma[i][j]);
	mem(a,0);
	for(int i = 1;i <= 5;i++)
		for(int j = 1;j <= 6;j++)
		{
			int now = (i - 1) * 6 + j;
			b[now] = (1 ^ (ma[i][j] - '0'));
			a[now][now] = 1;
			for(int k = 0;k < 4;k++)
			{
				int x = i + dx[k],y = j + dy[k];
				if(x < 1 || x > 5 || y < 1 || y > 6)continue;
				int haha = (x - 1) * 6 + y;
				a[now][haha] = 1;
			}
		}
	n = 30,m = 30;
	Gauss();
	int num = 0;
	for(int i = 1;i <= 30;i++)
		if(b[i])
			num++;
	printf("%d\n",num);
	for(int i = 1;i <= 30;i++)
	{
		if(b[i])
		{
			int x = (i - 1) / 6 + 1;
			int y = (i % 6 == 0) ? 6 : i % 6;
			printf("%d %d\n",x,y);
		}
	}
}

網上有另一種模板比較詳細，但是沒用過，

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;

const int MAXN=50;



int a[MAXN][MAXN];//增廣矩陣
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//標記是否是不確定的變元



/*
void Debug(void)
{
    int i, j;
    for (i = 0; i < equ; i++)
    {
        for (j = 0; j < var + 1; j++)
        {
            cout << a[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;
}
*/


inline int gcd(int a,int b)
{
    int t;
    while(b!=0)
    {
        t=b;
        b=a%b;
        a=t;
    }
    return a;
}
inline int lcm(int a,int b)
{
    return a/gcd(a,b)*b;//先除後乘防溢出
}

// 高斯消元法解方程組(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮點數解，但無整數解，
//-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數)
//有equ個方程，var個變元。增廣矩陣行數爲equ,分別爲0到equ-1,列數爲var+1,分別爲0到var.
int Gauss(int equ,int var)
{
    int i,j,k;
    int max_r;// 當前這列絕對值最大的行.
    int col;//當前處理的列
    int ta,tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;

    for(int i=0;i<=var;i++)
    {
        x[i]=0;
        free_x[i]=true;
    }

    //轉換爲階梯陣.
    col=0; // 當前處理的列
    for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++)
    {// 枚舉當前處理的行.
// 找到該col列元素絕對值最大的那行與第k行交換.(爲了在除法時減小誤差)
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        }
        if(max_r!=k)
        {// 與第k行交換.
            for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        }
        if(a[k][col]==0)
        {// 說明該col列第k行以下全是0了，則處理當前行的下一列.
            k--;
            continue;
        }
        for(i=k+1;i<equ;i++)
        {// 枚舉要刪去的行.
            if(a[i][col]!=0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta = LCM/abs(a[i][col]);
                tb = LCM/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//異號的情況是相加
                for(j=col;j<var+1;j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;
                }
            }
        }
    }

  //  Debug();

    // 1. 無解的情況: 化簡的增廣陣中存在(0, 0, ..., a)這樣的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 對於無窮解來說，如果要判斷哪些是自由變元，那麼初等行變換中的交換就會影響，則要記錄交換.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 無窮解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中出現(0, 0, ..., 0)這樣的行，即說明沒有形成嚴格的上三角陣.
    // 且出現的行數即爲自由變元的個數.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不會是(0, 0, ..., 0)的情況，因爲這樣的行是在第k行到第equ行.
            // 同樣，第i行一定不會是(0, 0, ..., a), a != 0的情況，這樣的無解的.
            free_x_num = 0; // 用於判斷該行中的不確定的變元的個數，如果超過1個，則無法求解，它們仍然爲不確定的變元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 無法求解出確定的變元.
            // 說明就只有一個不確定的變元free_index，那麼可以求解出該變元，且該變元是確定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出該變元.
            free_x[free_index] = 0; // 該變元是確定的.
        }
        return var - k; // 自由變元有var - k個.
    }
    // 3. 唯一解的情況: 在var * (var + 1)的增廣陣中形成嚴格的上三角陣.
    // 計算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 說明有浮點數解，但無整數解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}
int main(void)
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    int i, j;
    int equ,var;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
//        Debug();
        int free_num = Gauss(equ,var);
        if (free_num == -1) printf("無解!\n");
   else if (free_num == -2) printf("有浮點數解，無整數解!\n");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("無窮多解! 自由變元個數爲%d\n", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不確定的\n", i + 1);
                else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}