這是我在網上搜了好多資料拼接的,不容易啊 （寫的不好請見諒）
Dijkstra算法的要點總結：
1.該算法需要兩個重要的數據結合結構，集合S、T，S集合中存放已經找到最短路徑的節點，T集合中則爲S集合的補集，爲還未找到阻斷路徑的節點集合
2.算法開始時將源點o放入S集合，並初始化各節點到源點的最短路徑，如果之間不相通，距離爲無窮大，否則，當前最短路徑爲到源點o的直接距離
3.整個算法過程爲不斷從T集合尋找當前最短路徑的節點，並將其從T集合轉移到S集合，直到T集合爲空，算法結束
4.每次從T集合中提取當前最短路徑的節點之後需要更新T集合中每個節點的當前最短路徑，更新方法爲：獲取T中節點Ti，依次用S中的每個節點Si，將Si的最短路徑長度加上Si到Ti的距離和與Ti直接到源點的距離做比較，如果距離和更小，則更新Ti的當前最短路徑
5.總流程可表示爲：集合S、T初始化----->提取T中最小路徑節點放入S中------>更新T集合節點的當前最小路徑 ，直到T集合爲空，算法結束
定義
Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的單源最短路徑算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路徑算法，在很多專業課程中都作爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。Dijkstra一般的表述通常有兩種方式，一種用永久和臨時標號方式，一種是用OPEN,
CLOSE表的方式，這裏均採用永久和臨時標號的方式。注意該算法要求圖中不存在負權邊。
問題描述
在無向圖 G=(V,E) 中，假設每條邊 E[i] 的長度爲 w[i]，找到由頂點 V0 到其餘各點的最短路徑。（單源最短路徑
迪傑斯特拉算法
迪傑斯特拉(Dijkstra)算法思想
按路徑長度遞增次序產生最短路徑算法：
把V分成兩組：
（1）S：已求出最短路徑的頂點的集合
（2）V-S=T：尚未確定最短路徑的頂點集合
將T中頂點按最短路徑遞增的次序加入到S中，
保證：（1）從源點V0到S中各頂點的最短路徑長度都不大於
從V0到T中任何頂點的最短路徑長度
（2）每個頂點對應一個距離值
S中頂點：從V0到此頂點的最短路徑長度
T中頂點：從V0到此頂點的只包括S中頂點作中間
頂點的最短路徑長度
依據：可以證明V0到T中頂點Vk的最短路徑，或是從V0到Vk的
直接路徑的權值；或是從V0經S中頂點到Vk的路徑權值之和
（反證法可證）
求最短路徑步驟
算法步驟如下：
1. 初使時令 S={V0},T={其餘頂點}，T中頂點對應的距離值
若存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)爲<V0,Vi>弧上的權值
若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)爲∝
2. 從T中選取一個其距離值爲最小的頂點W且不在S中，加入S
3. 對T中頂點的距離值進行修改：若加進W作中間頂點，從V0到Vi的
距離值比不加W的路徑要短，則修改此距離值
重複上述步驟2、3，直到S中包含所有頂點，即S=T爲止
迪傑斯特拉算法的原理
首先，引進一個輔助向量D，它的每個分量D表示當前所找到的從始點v到每個終點vi的最短路徑的長度。如D[3]=2表示從始點v到終點3的路徑相對最小長度爲2。這裏強調相對就是說在算法過程中D的值是在不斷逼近最終結果但在過程中不一定就等於最短路徑長度。它的初始狀態爲：若從v到vi有弧，則D爲弧上的權值；否則置D爲∞。顯然，長度爲 D[j]=Min{D
| vi∈V} 的路徑就是從v出發的長度最短的一條最短路徑。此路徑爲(v,vj)。 那麼，下一條長度次短的最短路徑是哪一條呢？假設該次短路徑的終點是vk，則可想而知，這條路徑或者是(v,vk)，或者是(v,vj,vk)。它的長度或者是從v到vk的弧上的權值，或者是D[j]和從vj到vk的弧上的權值之和。 一般情況下，假設S爲已求得最短路徑的終點的集合，則可證明：下一條最短路徑（設其終點爲X）或者是弧(v,x)，或者是中間只經過S中的頂點而最後到達頂點X的路徑。因此，下一條長度次短的最短路徑的長度必是D[j]=Min{D
| vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的權值，或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的權值之和。 迪傑斯特拉算法描述如下： 1）arcs表示弧上的權值。若不存在，則置arcs爲∞（在本程序中爲MAXCOST）。S爲已找到從v出發的最短路徑的終點的集合，初始狀態爲空集。那麼，從v出發到圖上其餘各頂點vi可能達到的最短路徑長度的初值爲D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2）選擇vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改從v出發到集合V-S上任一頂點vk可達的最短路徑長度。
Dijkstra算法講解與C/C++實現
Dijkstra(迪傑斯特拉)算法是典型的最短路徑路由算法，用於計算一個節點到其他所有節點的最短路徑。主要特點是以起始點爲中心向外層層擴展，直到擴展到終點爲止。Dijkstra算法能得出最短路徑的最優解，但由於它遍歷計算的節點很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多專業課程中都作爲基本內容有詳細的介紹，如數據結構，圖論，運籌學等等。
其基本思想是，設置頂點集合S並不斷地作貪心選擇來擴充這個集合。一個頂點屬於集合S當且僅當從源到該頂點的最短路徑長度已知。
初始時，S中僅含有源。設u是G的某一個頂點，把從源到u且中間只經過S中頂點的路稱爲從源到u的特殊路徑，並用數組dist記錄當前每個頂點所對應的最短特殊路徑長度。Dijkstra算法每次從V-S中取出具有最短特殊路長度的頂點u，將u添加到S中，同時對數組dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中頂點，dist就記錄了從源到所有其它頂點之間的最短路徑長度。
例如，對下圖中的有向圖，應用Dijkstra算法計算從源頂點1到其它頂點間最短路徑的過程列在下表中。
主題好好理解上圖！
以下是具體的實現(C/C++):
/***************************************
* About: 有向圖的Dijkstra算法實現
* Author: Tanky Woo
***************************************/
#include <iostream>
using namespace std;
const int maxnum = 100;
const int maxint = 999999;
// 各數組都從下標1開始
int dist[maxnum]; // 表示當前點到源點的最短路徑長度
int prev[maxnum]; // 記錄當前點的前一個結點
int c[maxnum][maxnum]; // 記錄圖的兩點間路徑長度
int n, line; // 圖的結點數和路徑數
// n -- n nodes
// v -- the source node
// dist[] -- the distance from the ith node to the source node
// prev[] -- the previous node of the ith node
// c[][] -- every two nodes' distance
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
{
bool s[maxnum]; // 判斷是否已存入該點到S集合中
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
dist[i] = c[v][i];
s[i] = 0; // 初始都未用過該點
if(dist[i] == maxint)
prev[i] = 0;
else
prev[i] = v;
}
dist[v] = 0;
s[v] = 1;
// 依次將未放入S集合的結點中，取dist[]最小值的結點，放入結合S中
// 一旦S包含了所有V中頂點，dist就記錄了從源點到所有其他頂點之間的最短路徑長度
// 注意是從第二個節點開始，第一個爲源點
for(int i=2; i<=n; ++i)
{
int tmp = maxint;
int u = v;
// 找出當前未使用的點j的dist[j]最小值
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
{
u = j; // u保存當前鄰接點中距離最小的點的號碼
tmp = dist[j];
}
s[u] = 1; // 表示u點已存入S集合中
// 更新dist
for(int j=1; j<=n; ++j)
if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
{
int newdist = dist[u] + c[u][j];
if(newdist < dist[j])
{
dist[j] = newdist;
prev[j] = u;
}
}
}
}
// 查找從源點v到終點u的路徑，並輸出
void searchPath(int *prev,int v, int u)
{
int que[maxnum];
int tot = 1;
que[tot] = u;
tot++;
int tmp = prev[u];
while(tmp != v)
{
que[tot] = tmp;
tot++;
tmp = prev[tmp];
}
que[tot] = v;
for(int i=tot; i>=1; --i)
if(i != 1)
cout << que[i] << " -> ";
else
cout << que[i] << endl;
}
int main()
{
freopen("input.txt", "r", stdin);
// 各數組都從下標1開始
// 輸入結點數
cin >> n;
// 輸入路徑數
cin >> line;
int p, q, len; // 輸入p, q兩點及其路徑長度
// 初始化c[][]爲maxint
for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=1; j<=n; ++j)
c[i][j] = maxint;
for(int i=1; i<=line; ++i)
{
cin >> p >> q >> len;
if(len < c[p][q]) // 有重邊
{
c[p][q] = len; // p指向q
c[q][p] = len; // q指向p，這樣表示無向圖
}
}
for(int i=1; i<=n; ++i)
dist[i] = maxint;
for(int i=1; i<=n; ++i)
{
for(int j=1; j<=n; ++j)
printf("%8d", c[i][j]);
printf("\n");
}
Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
// 最短路徑長度
cout << "源點到最後一個頂點的最短路徑長度: " << dist[n] << endl;
// 路徑
cout << "源點到最後一個頂點的路徑爲: ";
searchPath(prev, 1, n);
}
輸入數據:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
輸出數據:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源點到最後一個頂點的最短路徑長度: 60
源點到最後一個頂點的路徑爲: 1 -> 4 -> 3 -> 5
