整數劃分總結（動態規劃）

先引入一個比較實際的問題：分蘋果

題目

M個相同蘋果放到N個相同籃子裏有多少种放法,允許有籃子不放。

1<=M<=10，1<=N<=10

例如5個蘋果三個籃子，3，1，1 和 1,1,3是同一种放法


輸入 7 3

輸出 8

思路

設f(m,n) 爲m個蘋果，n個盤子的放法數目：

1. 當n>m：必定有n-m個盤子永遠空着，去掉它們對擺放蘋果方法數目不產生影響。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)　　
2. 當n<=m：不同的放法可以分成兩類： 
   （1）有至少一個盤子空着，即相當於f(m,n) = f(m,n-1); 
   （2）所有盤子都有蘋果，相當於可以從每個盤子中拿掉一個蘋果，不影響不同放法的數目，即f(m,n) = f(m-n,n).而總的放蘋果的放法數目等於兩者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)

遞歸出口條件說明：

當n=1時，所有蘋果都必須放在一個盤子裏，所以返回１；
當沒有蘋果可放時，定義爲１种放法；
遞歸的兩條路，第一條n會逐漸減少，終會到達出口n==1; 
第二條m會逐漸減少，因爲n>m時，我們會return f(m,m)　所以終會到達出口m==0．

代碼

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;

// apple 個 蘋果 basket 個 籃子
int ShareApple(int apple,int basket){
    // 因爲我們總是讓apple >= basket來求解的，所以apple - basket >= 0,
    // 讓apple = 0時候結束，如果改爲apple = 1，可能得不到正確解
    if(apple == 0 || basket == 1){
        return 1;
    }//if
    // 籃子多於蘋果 按照蘋果個數分
    else if(apple < basket){
        return ShareApple(apple,apple);
    }//else
    return ShareApple(apple,basket-1) + ShareApple(apple - basket,basket);
}

int main(){
    int apple,basket;
    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\acm.txt","r",stdin);
    while(cin>>apple>>basket){
        cout<<ShareApple(apple,basket)<<endl;
    }//while
    return 0;
}

是不是看着很簡單？遞歸就是如此，思路很容易理解，但是很多子問題重複計算，複雜度很高。。。額。。。重點就是要說的動態規劃咯（自底向上）

經典問題：整數劃分

/*
   整數劃分
   （一）將n劃分成若干不同整數之和的劃分數
   （二）將n劃分成若干正整數之和的劃分數
   （三）將n劃分成k個正整數之和的劃分數
   （四）將n劃分成最大數不超過k的劃分數
   （五）將n劃分成若干個 奇正整數之和的劃分數
*/

#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
#include<vector>  
#include<queue>  
#include<set>  
#include<map>  
#include<algorithm>  
#include<sstream>  
#define eps 1e-9  
#define pi acos(-1)  
#define INF 0x7fffffff  
#define inf -INF  
#define MM 12900  
#define N 50  
using namespace std;  
typedef long long ll;  
const int _max = N + 10;  
  
int dp[_max][_max],n,k,out[6];  
  
int main(){  
    #ifndef ONLINE_JUDGE  
    freopen("input.txt","r",stdin);  
    #endif // ONLINE_JUDGE  
    while(scanf("%d%d",&n,&k)==2){  
      /*****************整數劃分（二）******************/  
      memset(dp,0,sizeof(dp));  
      dp[0][0] = 1;  
      for(int i = 0; i <= n; ++ i)  
        for(int j = 1; j <= n; ++ j){  
          if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];  
          else dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];  
        }  
      out[1] = dp[n][n];  
      /*****************整數劃分（四）******************/  
      out[3] = dp[n][k];  
      /*****************整數劃分（三）******************/  
      memset(dp,0,sizeof(dp));  
      dp[0][0] = 1;  
      for(int i = 1; i <= N; ++ i)  
        for(int j = 1; j <= i; ++ j){  
        dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];  
      }  
      out[2] = dp[n][k];  
      /*****************整數劃分（五）******************/  
      memset(dp,0,sizeof(dp));  
      dp[0][0] = 1;  
      for(int i = 0; i <= n; ++ i)  
       for(int j = 1; j <= n; ++ j){  
         if(j&1){  
            if(j>i)dp[i][j] = dp[i][i];  
            else dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i][j-1];  
         }  
         else dp[i][j] = dp[i][j-1];  
       }  
       out[4] = dp[n][n];  
      /*****************整數劃分（一）******************/  
      memset(dp,0,sizeof(dp));  
      dp[0][0] = 1;  
      for(int i = 0; i <= n; ++ i)  
        for(int j = 1; j <= n; ++ j){  
          if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i];  
          else dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];  
        }  
      out[5] = dp[n][n];  
      /*****************輸出******************/  
      for(int i = 1; i<= 5; ++ i)  
        printf("%d\n",out[i]);  
      printf("\n");  
    }  
    return 0;  
}  
/* 
/*****（一）將n劃分成若干不同整數之和的劃分數************ 
   dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 
   dp[0][0] = 1 
   dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];(j<=i) 
            = dp[i][i]                (j >i) 
   =>ans = dp[n][n] 
 
/*****（二）將n劃分成若干正整數之和的劃分數************* 
   dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 
   與（一）區別，j可重複 
   dp[0][0] = 1 
   dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) 
            = dp[i][i]                (j >i) 
   =>ans = dp[n][n] 
 
/*****（三）將n劃分成k個正整數之和的劃分數************* 
   dp[i][j]表示將整數i劃分成j個正整數的劃分數，考慮j組數中含不含1 
   dp[0][0] = 1 
   dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]; 
   如果不包含1，那麼每組數至少爲2，從每堆數中各拿出1還能夠成j堆數dp[i-j][j] 
   =>ans = dp[n][k] 
/*****（四）將n劃分成最大數不超過k的劃分數************ 
   dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 
   是（二）的特例 
   dp[0][0] = 1 
   dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) 
            = dp[i][i]                (j >i) 
   =>ans = dp[n][k] 
/*****（五）將n劃分成若干個 奇正整數之和的劃分數****** 
   dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 
   dp[0][0] = 1; 
   j是奇數，正常判斷 
                     dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) 
                              = dp[i][i]                (j >i) 
   j是偶數,dp[i][j] = dp[i][j-1]//往下遞推 
   =>ans = dp[n][n] 
*/