最小樹形圖（Chu&Liu/Edmonds's algorithm）

求最小樹形圖。

前幾天爲了UVa的一道題不得不重寫了一個最小樹形圖O(VE)的模板，原先的是鄰接矩陣版，所以複雜度是O(V^3)的。我的計劃就是學/複習一個算法就寫一個總結上來，最後能逐漸的把我的學習經歷記錄一下。當然把其中一些理解寫出來的話也會更加的深刻，或許還能幫到某些人，不是麼，呵呵。

最小樹形圖，就是給有向帶權圖中指定一個特殊的點v，求一棵有向生成樹T，使得該有向樹的根爲v，並且T中所有邊的總權值最小。最小樹形圖的第一個算法是1965年朱永津和劉振宏提出的複雜度爲O(VE)的算法。

判斷是否存在樹形圖的方法很簡單，只需要以v爲根作一次圖的遍歷就可以了，所以下面的算法中不再考慮樹形圖不存在的情況。

在所有操作開始之前，我們需要把圖中所有的自環全都清除。很明顯，自環是不可能在任何一個樹形圖上的。只有進行了這步操作，總算法複雜度才真正能保證是O(VE)。
首先爲除根之外的每個點選定一條入邊，這條入邊一定要是所有入邊中最小的。現在所有的最小入邊都選擇出來了，如果這個入邊集不存在有向環的話，我們可以證明這個集合就是該圖的最小樹形圖。這個證明並不是很難。如果存在有向環的話，我們就要將這個有向環所稱一個人工頂點，同時改變圖中邊的權。假設某點u在該環上，並設這個環中指向u的邊權是in[u]，那麼對於每條從u出發的邊(u, i, w)，在新圖中連接(new, i, w)的邊，其中new爲新加的人工頂點; 對於每條進入u的邊(i, u, w)，在新圖中建立邊(i, new, w-in[u])的邊。爲什麼入邊的權要減去in[u]，這個後面會解釋，在這裏先給出算法的步驟。然後可以證明，新圖中最小樹形圖的權加上舊圖中被收縮的那個環的權和，就是原圖中最小樹形圖的權。

上面結論也不做證明了。現在依據上面的結論，說明一下爲什麼出邊的權不變，入邊的權要減去in [u]。對於新圖中的最小樹形圖T，設指向人工節點的邊爲e。將人工節點展開以後，e指向了一個環。假設原先e是指向u的，這個時候我們將環上指向u的邊 in[u]刪除，這樣就得到了原圖中的一個樹形圖。我們會發現，如果新圖中e的權w'(e)是原圖中e的權w(e)減去in[u]權的話，那麼在我們刪除掉in[u]，並且將e恢復爲原圖狀態的時候，這個樹形圖的權仍然是新圖樹形圖的權加環的權，而這個權值正是最小樹形圖的權值。所以在展開節點之後，我們得到的仍然是最小樹形圖。逐步展開所有的人工節點，就會得到初始圖的最小樹形圖了。

如果實現得很聰明的話，可以達到找最小入邊O(E)，找環 O(V)，收縮O(E)，其中在找環O(V)這裏需要一點技巧。這樣每次收縮的複雜度是O(E)，然後最多會收縮幾次呢？由於我們一開始已經拿掉了所有的自環，我門可以知道每個環至少包含2個點，收縮成1個點之後，總點數減少了至少1。當整個圖收縮到只有1個點的時候，最小樹形圖就不不用求了。所以我們最多隻會進行V-1次的收縮，所以總得複雜度自然是O(VE)了。由此可見，如果一開始不除去自環的話，理論複雜度會和自環的數目有關。

最小樹形圖的總結到此爲止了。目前爲止發現的有OJ可交的最小樹形圖總共有3道題，分別是UVa 11183 Teen Girl Squad, TJU 2248 Channel Design, PKU 3164 Command Network。其中UVa的題V = 1000, E = 40000，PKU和TJU是V = 100, E = 10000。在PKU/TJU下，由於數據範圍的限制，採用O(V^3)的鄰接矩陣會比O(VE)的鄰接錶快，而UVa的題顯然只能用O(VE)的樹形圖算法了。

Source code

//最小樹形圖，源點編號爲1
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

struct Point {
    double _x,_y;
    Point(double x,double y) :_x(x),_y(y) {}
    Point() {}
};

const unsigned int maxn=128;
const double NOEDGE=99999999;
double G[maxn][maxn];
Point allp[maxn];
int N,M;
double res;

inline double dist(const Point& p1,const Point& p2) {
    return sqrt((p1._x-p2._x)*(p1._x-p2._x)+(p1._y-p2._y)*(p1._y-p2._y));
}
template <class T>
void update(T& o,const T& x){
    if(o>x)
        o=x;
}
bool vis[maxn];
void dfs(int v){
    vis[v]=true;
    for(int i=2;i<=N;++i)
        if((!vis[i])&&G[v][i]!=NOEDGE)
            dfs(i);
}
bool possible(){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dfs(1);
    for(int i=2;i<=N;++i)
        if(!vis[i])
            return false;
    return true;
}
int pre[maxn];
bool del[maxn];
void solve(){
    int num=N;
    memset(del,0,sizeof(del));
    for(;;){
        int i;
        for(i=2;i<=N;++i){
            if(del[i])continue;
            pre[i]=i;
            G[i][i]=NOEDGE;
            for(int j=1;j<=N;++j){
                if(del[j])continue;
                if(G[j][i]<G[pre[i]][i])
                    pre[i]=j;
            }
        }
        for(i=2;i<=N;++i){
            if(del[i])continue;
            int j=i;
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            while(!vis[j]&&j!=1){
                vis[j]=true;
                j=pre[j];
            }
            if(j==1)continue;
            i=j;
            res+=G[pre[i]][i];
            for(j=pre[i];j!=i;j=pre[j]){
                res+=G[pre[j]][j];
                del[j]=true;
            }
            for(j=1;j<=N;++j){
                if(del[j])continue;
                if(G[j][i]!=NOEDGE)
                    G[j][i]-=G[pre[i]][i];
            }
            for(j=pre[i];j!=i;j=pre[j]){
                for(int k=1;k<=N;++k){
                    if(del[k])continue;
                    update(G[i][k],G[j][k]);
                    if(G[k][j]!=NOEDGE)
                        update(G[k][i],G[k][j]-G[pre[j]][j]);
                }
            }
            for(j=pre[i];j!=i;j=pre[j]){
                del[j]=true;
            }
            break;
        }
        if(i>N){
            for(int i=2;i<=N;++i){
                if(del[i])continue;
                res+=G[pre[i]][i];
            }
            break;
        }
    }
}
int main(){
    double x,y;
    for(;;){
        if(scanf("%d%d",&N,&M)==EOF) return 0;
        if(N==0)break;
        for(int i=0;i<=N;i++)
            for(int j=0;j<=N;j++)
                G[i][j]=NOEDGE;
        for(int i=1;i<=N;i++) {
            scanf("%lf %lf",&x,&y);
            allp[i]._x=x;
            allp[i]._y=y;
        }
        for(int i=0;i<M;++i){
            unsigned int a,b;
            scanf("%u%u",&a,&b);
            update(G[a][b],dist(allp[a],allp[b]));
        }
        if(!possible()){
            puts("poor snoopy");
        }
        else{
            res=0;
            solve();
            printf("%.2f/n",res);
        }
    }
}