BZOJ 1856 [Scoi2010]字符串 - 卡特兰数推广

先mark一下别人博客：

卡特兰数的推导（用01序列推导的，过于抽象）：
http://blog.csdn.net/youwuwei2012/article/details/38904839
（好像还有严格证明，只不过看不懂QAQ）

然后以这种推导的思路进行更易于理解的证明：

referring to:
http://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3443689.html
http://blog.csdn.net/wzq_qwq/article/details/48706151

（图源：wzq_QwQ，图为推广的模型）
对于卡特兰数的基础模型，进栈和出栈的次数相等且为一定值2n，其中进栈次数为n且在任意时刻进栈次数不小于出栈次数。考虑一个座标轴的模型，记每一次操作为右移一格，出栈下移，进栈上移，于是纵座标代表栈内元素个数y，且y恒为非负整数。根据卡特兰数的定义，从(0,0)开始移动，终止于(2n,0)点，由此操作数共有Cn2n ，然而其中包含不合法的情况。曲线不能到达直线y=-1，现在考虑不合法的情况的个数，即将(0,0)沿直线y=-1对称，从(-2,0)到达(2n,0)的种数，共有Cn+12n 。二者相减即为合法情况总数，公式为：h(n)=Cn2n−Cn+12n 。

综上，卡特兰数的公式为：

h(n)=Cn2nn+1=Cn2n−Cn+12n

将证明推广，进栈元素设为m(m>=n)，于是同理可得推广后的卡特兰数公式：

h(n)=Cnn+m−Cn+1n+m

。

此题按此公式，拿逆元求一下就好了。一定不能写错exgcd!!!

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int mod=20100403;

int n,m;

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int res=exgcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;
    x=y;
    y=temp-y*(a/b);
    return res;
}
int inverse(int a)
{
    int x,y;
    exgcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
int C(int m,int n)
{
    int res=1;
    for(int i=n-m+1;i<=n;i++)
        res=1LL*res*i%mod;
    for(int i=2;i<=m;i++)
        res=1LL*res*inverse(i)%mod;
    return res;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    cout<<((C(n,m+n)-C(n+1,m+n))%mod+mod)%mod;
    return 0;
}