[UOJ NOI Round #2 Day1]黎明前的巧克力

題目大意

給出n(n<=10^6)個在[0,10^6]內的整數a[1..n]，現要求從中選出兩個不相交的集合，使得這兩個集合的各自的異或和相等，可以存在有的數沒有被選擇，集合可以爲空，但是兩個集合不可以同時爲空。
問選出兩個這樣的集合的方案數。
部分分：n和a[]都在1e3範圍內

分析

一道喜聞樂見的fwt機智題。
先考慮部分分怎麼做。發現xor相等等價於兩個集合xor和等於0。那麼設f[i][s]表示考慮了前i個點，xor和爲s的方案數。轉移很簡單，要麼不選第i+1個，要麼把它加進其中一個集合，對s的影響是一樣的，轉移到f[i+1][s xor ai+1]$f[i+1][sxor{a}_{i+1}]$ 。
考慮使用fwt？很套路的做法是令每個元素爲多項式，那麼a[i]爲Ai(x)=1+2xai$A_i(x)=1+2x^{a_i}$ ，然後每次加入一個，或者按權值分治做異或卷積。
但明顯你把每個元素先transfer一遍，全部乘起來再untransfer，是O(n^2logn)的。
觀察性質。
發現一個A(x)進行transfer之後，係數只有-1和3兩種取值。其中3=1+2，-1=1-2，就是考慮x^0肯定對每一位都貢獻1，而x^a[i]可能貢獻±2。
考慮使用性質tf(A+B)=tf(A)+tf(B)$tf(A+B)=tf(A)+tf(B)$ 。發現可以先把n個多項式累加起來，transfer一次，就能知道每個A變換後加起來的和。
這樣的好處是可以解一元一次方程，找出每個位置-1和3的個數。
然後你就可以知道每個位置的累乘是多少了。
然後untransfer一下，就做完了。
時間複雜度O(nlogn)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)
#define fd(i,j,k) for(i=j;i>=k;i--)
#define cmax(a,b) (a=(a>b)?a:b)
#define cmin(a,b) (a=(a<b)?a:b)
const int N=2e6+5,M=1e6+5,mo=998244353,rt=3;
int m,i,n,rev4,rev2,cnt3,prod1,v,xs,half;
int a[N],pos[N],t[N];
int ksm(int x,int y)
{
    int ret=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ret=1ll*ret*x%mo;
        y>>=1;
        x=1ll*x*x%mo;
    }
    return ret;
}
void fwt(int *a,int l,int r,int s)
{
    if (l==r) return ;
    int m=l+r>>1;
    fwt(a,l,m,s);
    fwt(a,m+1,r,s);
    if (s==1) xs=1;else xs=rev2;
    half=r-l+1>>1;
    fo(i,l,m)
    {
        t[i]=1ll*(a[i]+a[i+half])*xs%mo;
        t[i+half]=1ll*(a[i]-a[i+half])*xs%mo;
    }
    fo(i,l,r) a[i]=t[i];
}
int main()
{
    freopen("t4.in","r",stdin);
//  freopen("t4.out","w",stdout);
    scanf("%d",&m);
    fo(i,1,m)
    {
        scanf("%d",pos+i);
        a[pos[i]]+=2;
        a[0]++;
    }
    n=1<<20;
    fwt(a,0,n-1,1);
    rev4=ksm(4,mo-2);
    rev2=ksm(2,mo-2);
    fo(i,0,n-1)
    {
        v=(a[i]+m)%mo;
        cnt3=1ll*v*rev4%mo;
        prod1=((m-cnt3)%2)?-1:1;
        a[i]=ksm(3,cnt3)*prod1;
    }
    fwt(a,0,n-1,0);
    printf("%d",(a[0]-1+mo)%mo);
}