[一些性質]

斯特林數公式

第一類

nm↓=∑k=0..m(−1)n−k[mk]nk$n^{m\downarrow }=\sum _{k=\mathrm{0..}m}(-1{)}^{n-k}{[}_k^m]n^k$
也就是說，[mk]${[}_k^m]$ 是(x)∗(x−1)∗...(x−m+1)$(x)\ast (x-1)\ast ...(x-m+1)$ 的k次項係數。
由於遞推式[ij]=[i−1j]∗(i−1)+[i−1j−1]${[}_j^i]={[}_j^{i-1}]\ast (i-1)+{[}_{j-1}^{i-1}]$ 和上面係數遞推式長一樣，所以有這式子。

第二類

nm=∑k=0..n{mk}nk↓$n^m=\sum _{k=\mathrm{0..}n}{\{}_k^m\}{n}^{k\downarrow }$
可以理解爲m個球放進n個可區分盒子裏，不要求每個盒子一定有球。然後我們枚舉哪些盒子有球，就可以第二類斯特林數了。

n階差分公式

對於數組f(i)$f(i)$ ，定義Δnf(i)=Δn−1f(i+1)−Δn−1f(i)${∆}^{n}f(i)={∆}^{n-1}f(i+1)-{∆}^{n-1}f(i)$ ，其中Δ0f(i)=f(i)${∆}^{0}f(i)=f(i)$ ，那麼有
Δnf(x)=∑i=0..n(−1)n−iCinf(x+i)${∆}^{n}f(x)=\sum _{i=\mathrm{0..}n}(-1{)}^{n-i}{C}_n^{i}f(x+i)$

伯努利數

設爲B[]，B[0]=1
生成函數的定義：xex−1=∑i≥0Bixii!$\frac{x}{e^x-1}=\sum _{i\ge 0}\frac{B_i{x}^i}{i!}$
基於的組合數定義：∑i=0..nCin+1Bi=0$\sum _{i=\mathrm{0..}n}{C}_{n+1}^i{B}_i=0$
由於xex−1=1∑i≥0xi(i+1)!$\frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{\sum _{i\ge 0}\frac{x^i}{(i+1)!}}$
那麼右邊多項式求逆可以得出B。

用於求自然數冪和

∑i=1..niK=∑i=1..K+1CiK+1BK+1−i(n+1)i$\sum _{i=\mathrm{1..}n}{i}^K=\sum _{i=\mathrm{1..}K+1}{C}_{K+1}^i{B}_{K+1-i}(n+1{)}^i$
可見右邊是個卷積的形式，可以FFT優化的。