無人車系統（二）：橫向動力學模型

運動學模型只是在幾何意義上描述了無人車的運動。實際情況中，無人車的運動受外界的因素（如：路面、坡度、空氣動力）影響較大。在高速動行時，這些外界擾動變得更加明顯。爲了構建更加精準的無人車模型，有必要考慮汽車的動力學特性。無人車的動力學模型可以拆分成橫向動力學模型與縱向動力學模型。橫向動力學建模從輪胎受力出發構建立無人車的橫向控制模型，縱向動力學建模考慮坡度、空氣動力學構建無人車的縱向控制模型。本篇主要介紹無人車橫向動力學模型的建立過程。關於無人車縱向動力學模型的構建請參照無人駕駛縱向控制研究。

阿克曼轉向模型的動力學分析

無人車動學習模型表徵的是受力與速度、加速度以及橫擺角之間的關係，如下圖所示。

$\left\{\begin{array} {l}{F_{y f} \cos \delta-F_{x f} \sin \delta+F_{y r}=m\left(\dot{v}_{y}+v_{x} \omega\right)} \\ {l_{f}\left(F_{y f} \cos \delta-F_{x f} \sin \delta\right)-l_{r} F_{y r}=I_{z} \dot{\omega}} \end{array}\right.$

其中：
$F_{yf}$,$F_{yr}$：無人車前、後輪側向力（$N$）；
$F_{xf}$,$F_{xr}$：無人車前、後輪縱向力($N$);
$l_f$,$l_r$：無人車質心到前、後軸的距離($m$)；
$m$：無人車質量(kg);
$v_y$：無人車橫向車速(m/s)；
$v_x$：無人車縱向車速(m/s)；
$\omega$：無人車橫擺角速度(deg/s)；
$I_z$：無人車相對$z$軸的轉動慣量($kg.m^2$)

前後輪側向力可用簡化公式計算：
$\left\{\begin{array}{l}{F_{y f}=2c_{f} \alpha_{f}=2c_{f} (\delta-\arctan \left(\frac{v_{y}+l_{f} \omega}{v_{x}}\right)}) \\ {F_{y r}=2c_{r} \alpha_{r}=2c_{r} \arctan \left(\frac{l_{r} \omega-v_{y}}{v_{x}}\right)}\end{array}\right.$

其中:
$\alpha_f$,$\alpha_r$：無人車前、後輪側偏角(rad);
$c_f$,$c_r$：無人車前、後輪綜合側偏剛度；

【重要假設】無人車的航向角度$\delta$,前後輪側偏角$\alpha_f，\alpha_r$都較小時，上式可近似爲如下：

$\left\{\begin{array} {l}{F_{y f} +F_{y r}=m\left(\dot{v}_{y}+v_{x} \omega\right)} \\ {l_{f}F_{y f}-l_{r} F_{y r}=I_{z} \dot{\omega}} \end{array}\right.$

以及

$\left\{\begin{array}{l}{F_{y f}=2c_{f} \alpha_{f}=2c_{f} \left(\delta-\frac{v_{y}+l_{f} \omega}{v_{x}}\right)} \\ {F_{y r}=2c_{r} \alpha_{r}=2c_{r} \left(\frac{l_{r} \omega-v_{y}}{v_{x}}\right)}\end{array}\right.$

將$F_{yf}$與$F_{yr}$代入近似後的模型，可得：
$\left\{\begin{array} {l}{2c_{f} \left(\delta-\frac{v_{y}+l_{f} \omega}{v_{x}}\right) +2c_{r} \left(\frac{l_{r} \omega-v_{y}}{v_{x}}\right)=m\left(\dot{v}_{y}+v_{x} \omega\right)} \\ {2l_{f}c_{f} \left(\delta-\frac{v_{y}+l_{f} \omega}{v_{x}}\right)-2l_{r} c_{r} \left(\frac{l_{r} \omega-v_{y}}{v_{x}}\right)=I_{z} \dot{\omega}} \end{array}\right.$

可得無人車二自由度模型如下：

$\dot{X}=A X+Bu$

其中：
$X=\left[\begin{array}{c}\dot{y} \\ \dot{\theta}\end{array}\right]$
$u=\delta$
$A=\left[\begin{array}{cc}{-\frac{2C_{f}+2C_{r}}{m v_x}} & {-\frac{2C_{f} l_{f}-2C_{r} l_{r}}{m v_x}-v_x} \\ {-\frac{2l_{f} C_{f}-2l_{r} C_{r}}{I_{z} v_x}} & {-\frac{2l_{f}^{2} C_{f}+2l_{r}^{2} C_{r}}{I_{z} v_x}}\end{array}\right]$
$B=\left[\begin{array}{c}{\frac{2C_{f}}{m}} \\ {\frac{2l_{f} C_{f}}{I_{z}}}\end{array}\right]$

寫在後面

再次強調：我們構建的一切模型都是爲了預測系統未來的狀態。構建的模型可以用於控制領域，也可以用於強化學習領域（強化學習與控制理論的共同特點是——反饋）。本人非控制專業，所以不不敢涉入太過底層的電機模型（電機驅動轉向執行機構，電機驅動油門、剎車以及檔位）。無人車橫向控制得到期望的方向盤轉角，這與無人車系統中的速度規劃模塊功能相似。本文中介紹的無人車橫向模型，獨立於縱向模型，也獨立於底層電機驅動轉向執行器的模型，相對來說算是一個比較簡潔的模型。實際應用中，也建議將底層電機控制與無人車橫向控制解耦，形成兩層上下級控制架構，因爲與電機模型合在一起的總模型非常複雜，在後續控制算法設計過程中，還是得對模型進行簡化，這樣可能損失了更多精度。

在後續博客中，我將介紹幾種經典的無人車橫向控制方法（也即軌跡跟蹤控制方法）。

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以上