應用筆記AN1078一階數字低通濾波器推導和相位延遲計算

Microchip 的應用筆記 AN1078 中用作反電動勢濾波的一階數字低通濾波器由原文中的公式 4 給出，如下：

y(n)=y(n−1)+T2πfc(x(n)−y(n))

該濾波器又稱作一階 RC 數字低通濾波器，該公式可由下圖所示的 RC 低通濾波電路中推導出來。

由電路學知識可得：

Vin=Vout+RCdVoutdt

其截止頻率爲：

ωc=2πfc=1RC

於是有：

2πfc(Vin−Vout)=dVoutdt

在數字域中，該方程式爲：

2πfc(x(n)−y(n))=y(n)−y(n−1)T

整理後可得：

y(n)=y(n−1)+T2πfc(x(n)−y(n))

原式得證。

關於此濾波器，應用筆記 AN1078 中還有如下一段描述：

截止頻率的值被設置爲等於驅動電流和電機電壓的頻率，該頻率等於每秒的電氣旋轉圈數。由於自適應濾波器的實現方式，會有一個固定的相位延時（每個濾波器 -45°），用於所有速度範圍內的 θ 補償，因爲截止頻率會隨着電機提速而改變。

RC 低通濾波電路的相移角公式如下：

φ=−arctan(2πfRC)=−arctan(ffc)

不妨令 f=fc ，代入上式可得相移角爲 φ=−arctan(1)=−45° 。即當截止頻率等於輸入信號的頻率時，濾波器有一個固定的 -45° 的相位延時。