一個很自然的問題是：是否存在或者能否提出一種基於信息的採樣理論框架，使得采樣過程既能保持信號信息，又能只需遠少於Nyquist 採樣定理所要求的採樣數目就可精確或近似精確重建原始信號？簡言之，能否同時實現信號的採樣與壓縮？與信號帶寬相比，稀疏性能夠直觀地而且相對本質地表達信號的信息。事實上，稀疏性在現代信號處理領域一直起着至關重要的作用，例如基於稀疏性的逼近、基於稀疏性的估計、基於稀疏性的壓縮、基於稀疏性的降維等。不同於Nyquist 信號採樣機制，Candès、Tao、Romberg、Donoho 等人。
近年來基於信號稀疏性提出一種稱爲壓縮感知(compressed sensing)或壓縮採樣(compressivesampling)的新興採樣理論，成功實現了信號的同時採樣與壓縮。
簡單地說，壓縮感知理論指出：當信號在某個變換域是稀疏的或可壓縮的，可以利用與變換矩陣非相干的測量矩陣將變換系數線性投影爲低維觀測向量，同時這種投影保持了重建信號所需的信息，通過進一步求解稀疏最優化問題就能夠從低維觀測向量精確地或高概率精確地重建原始高維信號。在該理論框架下，採樣速率不再取決於信號的帶寬，而在很大程度上取決於兩個基本準則：稀疏性和非相干性，或者稀疏性和等距約束性。當前，壓縮感知理論主要涉及三個核心問題：
(1) 具有稀疏表示能力的過完備字典設計；
(2) 滿足非相干性或等距約束性準則的測量矩陣設計；
(3) 快速魯棒的信號重建算法設計。
上迅速興起的熱門研究方向。目前，學者們已經在模擬-信息採樣、合成孔徑雷達成像、遙感成像、核磁共振成像、深空探測成像、無線傳感器網絡、信源編碼、人臉識別、語音識別、探地雷達成像等諸多領域對壓縮感知展開了廣泛的應用研究。
值得注意的是，Rice 大學已經成功設計出了一種基於壓縮感知的新型單像素相機，在實踐中爲取代傳統相機邁出了實質性的一步。
目前，壓縮感知理論的相關工作尚有很多亟待解決的問題，尤其是國內關於壓縮感知理論的基礎研究基本處於空白。爲此，本文圍繞稀疏字典設計、測量矩陣設計、重建算法設計三個核心問題，對壓縮感知的基本理論和實現方法進行了系統闡述，同時指出了壓縮感知有待解決的若干理論推廣和關鍵技術。本文結構安排如下：第2 部分基於非相干性和和等距約束性準則系統闡述了壓縮感知的基本理論；第3 部分系統介紹了壓縮感知的三個層面的核心技術，即稀疏字典設計、測量矩陣設計、重建算法設計；第4 部分指出壓縮感知有待解決的若干關鍵問題；第5 部分對全文作了總結。
2．壓縮感知理論的基本框架
2.1 信號的稀疏性定義 (可壓縮信號) 稱信號 N x ∈ ?? 在Ψ 域是可壓縮的，如果變換向量s 大部分分量的取值很小，只有少部分分量的取值很大；或者說只要少部分取值大的分量就能很好地逼近原始信號x 。
例如，儘管很多信號自身取值都是非零的，但是在小波正交基下，信號大部分小波係數的取值都很小，只有少量的小波係數取值很大，這些大系數承載了信號的絕大部分信息。小波變換的這種稀疏性或可壓縮性已被成功地用於現代圖像壓縮標準—JPEG2000。這種通過稀疏變換實現壓縮的方法稱爲變換編碼[1]。變換編碼在現代數據獲取系統中一直髮揮着重要的作用，例如數碼相機、數碼攝相機。但是，這種採樣再壓縮的數據獲取過程造成了嚴重的資源浪費，尤其對於核磁共振成像、雷達遙感成像等特殊應用。例如，百萬級像素的傳感器只使用了壓縮後的幾百Kbyte 數據。
2.2 壓縮感知問題描述考慮一般的採樣問題[23]：
2.3 壓縮感知基本理論
在壓縮感知理論中，採樣速率不再取決於信號帶寬，而在很大程度上取決於兩個基本準則，即稀疏性和非相干性，或者，稀疏性和等距約束性。
2.3.1 基於稀疏性和非相干性
準則的壓縮感知理論定理 1 顯示了非相干正交基對(Φ% ,Ψ)對於壓縮感知的重要性。不等式指出，μ (Φ% ,Ψ)越小，壓縮採樣所需的測量個數就會越少，意味着壓縮測量yk 包含x的信息就會越多。特別地，當μ (Φ% ,Ψ)趨近於1 時，壓縮感知只需O(K ? log N)個壓縮測量就能以大概率精確重建原始信號。從信號重建過程來看，只需求解約束的l1範數最小化這個凸最優化問題；從數值解的精度來看，壓縮採樣的O(K ? log N)個壓縮測量在很大概率上沒有損失原始信號的信息。
定理1 存在的不足之處是：只適用於K -稀疏信號，而實際信號如自然圖像往往是可壓縮的；最優化問題的解有不精確的可能。
2.3.2 基於稀疏性和等距約束性
準則的壓縮感知理論定理 3 通過收緊等距約束常數的範圍，使得Θ 的任意2K 列組成的子矩陣更趨於近似正交，將壓縮感知鬆弛轉化爲約束1l 範數最小化的凸最優化問題，不僅保證了壓縮感知的理論完備性，而且在數值計算上保證了壓縮感知的可行性。當信號x 在Ψ 域是K -稀疏的，真實解s只有K 個非零項，則s? = s。換句話說，當Θ的2K 階等距約束常數小於0.414，約束最優化問題(10)能夠利用M ?? N 個壓縮測量精確重建原始信號。定理3 不僅適用於K -稀疏信號，而且適用於可壓縮信號。當信號是可壓縮的，(11)式給出了近似解與真實解的誤差範圍，完全由某個固定常數C
和s的N ? K 個最小絕對值分量決定。同時，測量矩陣設計部分將指出，測量次數M 與稀疏性K 和信號長度N 之間的具體關係將由稀疏矩陣Ψ 和測量矩陣Φ 共同決定。
3．壓縮感知的核心問題
3.1 壓縮感知的稀疏字典設計信號 x 的稀疏性或可壓縮性是壓縮感知的重要前提和理論基礎。因此，壓縮感知理論首要的研究任務就是信號的稀疏表示研究。稀疏字典設計是壓縮感知的核心問題之一，在於：
只有選擇合適的稀疏字典，才能保證表示係數具有足夠的稀疏性或衰減性，才能在減少壓縮測量的同時保證壓縮感知的重建精度。
目前，稀疏字典主要包括正交基字典、緊框架字典、過完備字典。正交基字典主要是計算調和分析中的正交變換系統，如Wavelet 變換；緊框架字典主要是以Ridgelet、CurveletBandletContourlet 爲代表的圖像幾何多分辨率表示或者稱Beyond Wavelet 變換；在過完備字典中，用於稀疏表示的不再是“單一基”，而是通過構造或學習得到的冗餘原子庫，通過提高變換系統的冗餘性增強信號逼近的靈活性，提高對圖像等複雜信號的稀疏表示能力。
1993 年，Mallat 和Zhang首次提出了基於過完備字典的稀疏分解思想，指出了過完備字典對於信號稀疏表示的必要性和重要性。基於過完備字典的稀疏分解依然是當前信號稀疏表示研究的熱點和難點。過完備字典由稱爲過完備原子庫的冗餘系統構成，原子不必再是“單一基”函數。過完備字典的構造或學習應遵循基本準則：字典中的原子應能儘量匹配信號本身固有的各種不同特徵。在這種準則下，稀疏字典必定是非正交的且是冗餘的，正是通過增加原子個數提高變換系統的冗餘性來增強信號逼近的靈活性，進而提高圖像等複雜信號的稀疏表示能力。當字典中的原子個數大於信號維數N 且包含N 個線性無關向量張成整個信號空間時，字典稱爲過完備的。基於過完備字典的稀疏分解使得信號能量集中在極少數原子上，正是這些具有非零係數的原子匹配了信號的不同特徵。
設計適合特定信號的過完備字典，目前主要包括人工構造和訓練學習兩大類方法。基於構造方法的過完備字典設計是主流，主要包括：Wavelet 和局部Cosine 函數的級聯、各向同性的Gabor 字典、各向異性的Refinement-Gaussian 混合字典、各向異性的Gabor 感知多成份字典等。雖然Wavelet 能夠稀疏表示信號中的點奇異特徵、局部Cosine 函數能夠有效表徵紋理特徵，但是由於Wavelet 的可分離性與各向同性，Wavelet 和局部Cosine 函數的級聯不能有效刻畫圖像中的邊緣輪廓等線奇異特徵。各向同性的Gabor 字典能夠有效刻畫紋理特徵。但是，由於Gabor 原子的各向同性和單頻帶寬，也不適於有效刻畫圖像中的邊緣輪廓等線奇異特徵。各向異性的Refinement-Gaussian 混合字典採用Gauss 函數及其二階導數作爲原子的生成函數，能夠有效表徵圖像中邊緣輪廓結構，但是沒有能夠有效刻畫紋理特徵的原子。各向異性的Gabor 感知多成分字典基於視覺感知的“有效編碼假設”，以二維Gabor 函數作爲字典原子的生成函數，依據視覺皮層中神經元的響應特性和組織方式以及圖像的多成分特性，約束生成函數中自由參數的取值範圍，通過對生成函數進行平移、旋轉、伸縮等幾何變換生成一系列原子，遵循了過完備字典構造應該遵循的基本準則。基於學習的過完備字典是過完備字典設計問題的難點和熱點，涌現的典型學習算法主要有：其中，K-SVD 這類學習算法具有代表性，稀疏表示效果好，計算複雜度低，但不足之處是缺乏嚴格的理論支撐。基於過完備字典的稀疏表示的另一個方面是設計快速有效的稀疏分解算法。由於壓縮感知信號重建問題追求的同樣是稀疏解，因此某種程度上這裏的稀疏分解算法可以推廣應用到壓縮感知問題。爲了避免重複，稀疏分解的相關算法將在下文予以介紹。國內關於稀疏表示也展開了廣泛的理論和應用研究。例如，謝勝利等人基於稀疏表示思想開展自適應的盲分離算法研究；尹忠科等人利用快速傅立葉變換實現匹配追蹤的快速算法研究。
3.2 壓縮感知的測量矩陣設計測量
矩陣設計是壓縮採樣理論的核心，直接決定了壓縮採樣理論是否能夠成功實現。由於壓縮測量個數和信號重建精度以及信號稀疏性有着密切的聯繫，因此測量矩陣的設計應該與稀疏字典的設計統籌考慮。從原理的角度看，測量矩陣的設計要以非相干性或等距約束性爲基本準則，既要減少壓縮測量個數又要確保壓縮感知的信號重建精度。從技術的角度看，測量矩陣的設計包括兩個方面：一是測量矩陣的元素，Candès 等人給出了隨機生成的設計策略；二是測量矩陣的維數，壓縮測量個數M 與信號稀疏性K 和信號長度N 應該滿足一定的關係。
3.2.1 基於非相干性準則的測量
矩陣設計稀疏信號的非相干壓縮感知定理要求非相干的正交基對(Φ% ,Ψ)。理想情況下，當正交基對具有最大非相干性，即μ (Φ% ,Ψ) = 1，壓縮感知信號重建問題(7)只需O(K ? log N)個壓縮測量就能以大概率精確重建原始信號。典型的例子是，正交基對(Φ% ,Ψ)由Delta基函數和Fourier基函數設計獲得[2][4][6][23]。由定理1 知，若信號N x∈?? 本身是K -稀疏的，當k?% 取爲Fourier基函數( ) 1/ 2 i 2 kj / Nk j N e π ? ? ? %
= ，ψ j取爲Delta 基函數ψ j (k ) = δ ( j ? k) ，則只要在Fourier 域任意隨機均勻地選取M = O(K ? log N)個變換系數sΩ,|Ω|=M (即隨機測量)，就能保證很大概率地精確重建原始信號；如果信號N x ∈ ?? 在Fourier 基函數下是K -稀疏的，當k?% 取爲Delta 基函數( ) ( ) k ?% j = δ j ? k ，ψ j取爲Fourier 基函數( ) 1/ 2 i 2 jk / Nj k N e π ψ ? = ，則只要在時域任意隨機均勻地選取M
= O(K ? log N)個信號值，就能保證很大概率地精確重建原始信號。
一般地，信號重建問題(7)需要M = O(μ 2 (Φ% ,Ψ) ? K ? log N)個隨機壓縮測量才能很大概率地精確重建原始信號[2][23]。例如，當Φ% 取爲Noiselet，Ψ取爲Harr Wavelet，μ (Φ% ,Ψ) = 2 ；Ψ取爲Daubechies D4 Wavelet，μ (Φ% ,Ψ) = 2.2；Ψ取爲Daubechies D8 Wavelet，μ (Φ% ,Ψ)=2.9。
事實上，當Ψ取爲任意固定正交矩陣，Φ% 取爲某種隨機正交矩陣，Φ% 與Ψ在很大程度上是非相干的[23]。例如，在單位球上隨機均勻獨立地選取N 個正交單位向量，通過這種隨機方式獲得的正交基Φ% 與任意固定正交基Ψ的相干性大約爲2log N ；如果Φ% 的所有元素都是獨立同分布選取的，例如服從Gaussian分佈或Bernoulli分佈，Φ% 與Ψ的相干性也是非常小的。
3.2.2 基於等距約束性準則的測量
矩陣設計由定理 3、4 知，信息算子Θ 或者測量矩陣Φ 要滿足RIP 條件。注意的是，在這些定理中， Φ 既可以是隨機矩陣也可以是確定性矩陣。從這個意義上講，基於稀疏性和RIP 準則的壓縮感知理論具有一般性。這裏主要介紹隨機測量矩陣[5],[23]。
首先，對於(3.2.1)討論的非相干正交基對(Φ% ,Ψ)，只要滿足M ≥ C ? K(log N)4，其中，C爲某個固定常數，則Θ = Q Φ% Ψ 將很大概率地滿足RIP。如果希望信息算子不滿足RIP的概率小於O(n ) ?β ，其中β > 0，則要求M ≥ C ? K(log N)5。
其次，(3.2.1)部分隨機產生正交基Φ% 的方法同樣適用於測量矩陣Φ，例如：
(1) 在?? M的單位球上均勻獨立地選取N 正交單位向量生成Φ ；
(2) 獨立同分布地從均值爲零方差爲1/M 的正態分佈生成Φ；
(3) 獨立同分布地從取值爲±1/ M 對稱的伯努利(Bernoulli)分佈生成Φ 。
對於任意固定的正交基Ψ和隨機產生的測量矩陣Φ，如果M ≥ C ? K log(N / K)，其中，C 爲某個固定常數，則Θ = Φ Ψ 很大概率地滿足RIP。可見，當Ψ爲正交基時，上述測量矩陣Φ在某種意義上具有普適性。主要在於：隨機矩陣在正交變換下具有旋轉不變性，Θ = Φ Ψ的隨機性沒有因爲Φ 乘上Ψ 而改變。對於定理5、6，存在類似的結論，感興趣的讀者可以閱讀參考文獻。
3.2 壓縮感知的重建算法設計
作爲不適定的數學反問題，壓縮感知信號重建在理論上存在着無數多個可行解。但是，上文壓縮感知相關定理指出，非相干性或等距約束性準則爲近似精確或精確重建提供了理論上的保證。壓縮感知的第三個核心問題是重建算法的設計。重建算法的設計應該遵循如下基本準則：算法應該利用儘可能少的壓縮測量快速、穩定、精確或近似精確地重建原始信號。
定理 2 指出，當信號在變換域是K -稀疏的，如果Θ 的2K 階約束等距常數小於1，那麼壓縮感知的信號重建可以轉化爲約束0l 範數最小化的非凸最優化問題求解。但是，由於0l 範數的高度非凸性， 0l 範數最小化是個需要組合搜索的NP-hard 問題。當N 很大時，不僅在數值計算上無法有效實現，而且抗噪能力很差。爲此，學者們陸續提出了多種近似等價的信號重建算法。簡單地說，主要包括三類方法：鬆弛方法、貪婪方法、非凸方法。需要指出的是，由於稀疏表示追求的同樣是稀疏解，因此這三類算法也適用於信號的稀疏表示問題。
鬆弛方法最典型的就是基於1l 範數最小化。例如，定理3 顯示，當Θ 的等距約束常數滿足收緊的RIP 條件，非凸0l 範數最小化與鬆弛的1l 範數最小化是等價的。典型的1l 範數最小化求解方法是基於線性規劃的基追蹤算法(BP)。但是，BP 算法在實際應用中存在兩個明顯的問題：一方面，當壓縮測量個數M ≥ cK ，c ≈ log(N / K)時，計算複雜度的量級爲( O N 3)；另一方面， 1l 範數不能區分指示稀疏係數的位置，將導致低尺度的能量遷移到高尺度的可能，在高頻區域出現震盪等僞人工現象。爲了降低計算複雜度，文獻陸續報道了內點法、最小角迴歸(LARs)、梯度投影(GPSR、軟/硬迭代閾值等多種稀疏重建算法。總的來說，此類方法但是重建精度高，需要的壓縮測量個數少O(K ? log(N / K))，但是計算複雜度相對較高。
第二類方法就是貪婪方法，基本思想是通過每次迭代時進行局部最優化尋找各個非零係數。主要包括：匹配追蹤(MP)[49]、正交匹配追蹤(OMP)[75-77]、近似OMP 的梯度追蹤(GP)、正則正交匹配追蹤(ROMP)、樹形匹配追蹤(TMP)、分段匹配追蹤(StOMP)、子空間追蹤(SP)、壓縮感知匹配追蹤(CoSaMP)、稀疏性自適應匹配追蹤(SAMP)[81]等。貪婪方法計算複雜度相對較低，但是與鬆弛方法相比，需要更多的壓縮測量O(K ? log N)，重建精度相對較低。例如，當壓縮測量個數滿足M ≥ cK ，c ≈ 2 ? log N 時，OMP能夠以較高的概率重構信號，計算複雜度爲O ( NK 2)。因此，與BP 算法相比，OMP 是以較多的壓縮測量換取較快的計算速度。又如，Donoho 等人提出的StOMP 以犧牲計算精度爲代價進一步提高OMP的計算速度。在上述9 種貪婪算法中，由於SAMP 不需要稀疏度先驗，因此在實用性和有效性上由於其它貪婪算法。
第三類方法就是非凸方法。該類方法所需的壓縮測量個數、計算複雜度、信號重構精度總體上介於鬆弛和貪婪兩類方法之間。典型的正則算法有，基於pl (0<p<1)範數的FOCUSS算法和迭代重新加權算法。最近，Ji 等人基於Gaussian 和Gamma、Babacan 等人基於Laplacian 和Gamma 分別提出了多層Bayesian CS 信號重建算法，通過第II 類最大似然估計法求解相關參數和稀疏係數。
4．有待研究的幾個關鍵問題
壓縮感知經過近年來的迅猛發展，已基本形成了自己的理論框架，包括基礎理論、實現方法和實際應用。但是，壓縮感知理論還有很多亟待解決的問題，爲此本文列出了壓縮感知有待解決的幾個關鍵問題。
4.1 基礎理論層面
1. 非 1l 範數驅動的壓縮感知信號重建理論。根據上文討論， 1l 範數最小化已經成功應用於非相干性準則驅動的稀疏信號壓縮感知理論和等距約束性準則驅動的可壓縮信號壓縮感知理論。具體表現在：當要精確或近似精確重建原始信號，基於1l 範數最小化的相關定理對稀疏字典Ψ 、測量矩陣Φ 、壓縮測量個數M、信號重建精度等都有了明確的界定。基於貪婪方法和非凸方法的信號重建雖然有很多優點，但是在理論上一直存在諸多不完備之處。
突出表現在：在特定稀疏字典和測量矩陣下，大多貪婪和非凸重建算法沒有給出對應信號重建精度所需的壓縮測量個數M。
2. 基於非正交稀疏字典的壓縮感知信號重建理論。在等距約束性準則驅動的可壓縮信號壓縮感知定理中，關於稀疏字典Ψ和測量矩陣Φ僅要求兩者乘積Θ = Φ Ψ 滿足RIP。但是，測量矩陣設計部分關於壓縮測量個數M 的界定還額外附加了假設條件，即稀疏字典Ψ 是正交基。當測量矩陣Φ依然通過三種方式生成，但是稀疏字典Ψ不再正交時，Θ = Φ Ψ 是否滿足RIP？壓縮測量個數M 的下限是否不變？由於過完備的稀疏字典才能保證表示係數具有足夠的稀疏性或衰減性，進而能夠在減少壓縮測量的同時保證壓縮感知的重建精度，所以需要設計魯棒的測量矩陣Φ 使之與過完備稀疏字典依然滿足RIP，同時需要重新估計壓縮測量個數M 的下限，這時所需的壓縮測量定會減少。
3. 自然圖像的自適應壓縮感知信號重建理論。雖然基於線性投影的壓縮感知理論能夠直接應用於自然圖像這樣的複雜高維信號，但是由於沒有考慮到自然圖像的固有特性，諸如結構多成分性、高階統計性等，對於自然圖像壓縮採樣本身沒有特殊的指導作用。事實上，相對於一維離散信號，自然圖像的複雜性和高維性使之需要自適應的壓縮採樣和重建算法。
例如，基於圖像多成分性的特點能夠提高重建圖像的峯值信噪比和視覺效果。注意到，壓縮感知理論的大部分文獻中，測量矩陣Φ 都是線性的且設計好的，不需根據觀測信號自適應地變化。對於自然圖像，假如能夠實現非線性自適應的壓縮測量，壓縮感知的壓縮性能勢必會獲得大幅度的提高。目前，自然圖像的自適應壓縮感知信號重建理論基本空白。這項工作對壓縮感知的理論推廣和實際應用都具有重要意義。
4.2 實現方法層面1. 基於學習的自然圖像過完備字典設計。目前，基於構造方法的自然圖像過完備字典設計具有很好的理論支撐，正則化幾何方法、幾何多尺度分析、基於信息論的“有效編碼假設”爲其奠定了堅實廣闊的理論基礎。但是，從國際上關於過完備字典設計的整體情況看，基於學習的自然圖像過完備字典設計的工作非常少，主要在於：設計難度大、性能要求高，同時缺乏嚴格的理論支撐。這項工作對於稀疏字典和壓縮感知都將是重要的理論完善。
2. 硬件易實現的確定性測量矩陣設計。在等距約束性準則驅動的可壓縮信號壓縮感知定理3、4 中，要求稀疏字典Ψ和測量矩陣Φ的乘積Θ = Φ Ψ 滿足RIP。其中，稀疏字典Ψ可以是正交的也可以是非正交的，測量矩陣Φ 可以是隨機的也可以是確定的。但是，面向應用且硬件易實現的測量矩陣應該具有以下基本特點：滿足等距約束性、壓縮測量個數少、採樣計算成本低、存儲矩陣的空間小、以及測量矩陣最好是確定性的。設計出硬件容易實現的測量矩陣和快速穩定的重建算法是將壓縮感知理論推向實用的關鍵。
3. 噪聲情形大尺度問題的快速魯棒重建算法設計。快速穩定的信號重建算法是將壓縮感知理論推向實用的關鍵技術之一，特別適用於糾錯編碼、核磁共振成像、NMR 波譜研究等大尺度問題。通常，基於1l 最小化鬆弛算法的計算複雜度相對較高。因而，在非1l 範數最小化驅動的壓縮感知理論完善工作的基礎上，希望能夠基於稀疏性自適應的貪婪迭代和基於多層超先驗建模的非凸迭代思想設計適於噪聲情形大尺度問題的快速魯棒重建算法。
5．總結
壓縮最初由美國威斯康星大學的Mistretta 教授等人提出：能否通過減少採樣數據縮短核磁共振成像的時間並且能夠利用這些有限量的數據重建原始圖像。對於這個問題，威斯康星大學的研究人員最初採用傳統圖像重建算法進行實驗。結果顯示[88]，重建圖像的分辨率不僅低，而且邊緣模糊，人工效應也很明顯。完全出乎意料地，加利福尼亞科技學院的Candès 教授及其團隊僅僅基於懲罰的思想完美重建出了原始圖像，同時證明了：只需隨機選取信號M ≥ 2K個Fourier 表示係數，就能唯一精確重建原始圖像[3]。正是這個意外的發現觸發了壓縮感知理論的思想來源。壓縮感知的誕生，堪稱世紀之作。在這裏，向奠定壓縮感知基礎理論的三位科學家表示致敬，他們分別是：加利福尼亞科技學院應用與計算數學系教授Emmanuel
J. Candès、加利福尼亞大學數學系教授Terence Tao、喬治亞科技學院電子與計算機工程系的Justin Romberg！
壓縮感知理論自誕生之日就有着極強的生命力，已經對信號處理、理論數學、計算數學、計算機科學、信息論、概率論、電子工程、光學工程等諸多領域產生了重要影響。壓縮感知的新穎性在於：只需遠少於傳統Nyquist 採樣定理所要求的採樣數就能精確或高概率精確重建原始信號。採樣速率不再取決於信號帶寬，而在很大程度上取決於稀疏性和非相干性準則，或者稀疏性和等距約束性準則。本文圍繞壓縮感知的稀疏字典設計、測量矩陣設計、重建算法設計三個核心問題，對其基本理論和主要方法進行了系統闡述。同時，在基礎理論和實現方法兩個層面提出了壓縮感知有待解決的若干理論問題與關鍵技術，具體包括：
(1) 非1l 範數驅動的壓縮感知信號重建理論；
(2) 基於非正交稀疏字典的壓縮感知信號重建理論；
(3) 自然圖像的自適應壓縮感知信號重建理論；
(4) 基於學習的自然圖像過完備字典設計；
(5) 硬件易實現的確定性測量矩陣設計；
(6) 噪聲情形大尺度問題的快速魯棒重建算法設計。
總之，不管是基礎理論還是重建算法，都必須以把壓縮感知理論推向實用爲準則。至於壓縮感知理論能否應用於某種實際領域，要看是否有將大量信息蘊含於少量採樣數據的迫切需要，例如：提高應用系統的性能、縮短數據獲取的時間、降低數據獲取的耗能、減少數據的存儲空間、提高數據的傳輸速度等等。最後，需要指出的是：壓縮感知理論不是普適的。對於隨機信號或者噪聲信號等非結構性的信號，壓縮感知理論肯定不適用。特別地，對於某些實際應用，Nyquist 採樣還是首選有效的方法，因爲目前壓縮感知理論可能存在某些暫時不能解釋也不能克服的侷限性。
