程序員編程藝術第四十一章~四十二章：荷蘭國旗、矩陣相乘Strassen算法

第四十一章~四十二章：荷蘭國旗問題、矩陣相乘之Strassen算法

前言

本文要講的兩個問題：荷蘭國旗和矩陣相乘之Strassen算法都跟分治法相關，故把這兩個問題放到了一起。所謂分治，便是分而治之的意思，好比打戰時面對敵人龐大的武裝部隊，採取避其主力，各個擊破的策略。

有何問題，歡迎隨時不吝指正，thanks。

第十一章、荷蘭國旗問題

題目描述

現有紅白藍三個不同顏色的小球，亂序排列在一起，請重新排列這些小球，使得紅白藍三色的同顏色的球在一起。這個問題之所以叫荷蘭國旗，是因爲我們可以將紅白藍三色小球想象成條狀物，有序排列後正好組成荷蘭國旗。如下圖所示：

思路分析

初看此題，我們貌似除了暴力解決並無好的辦法，但聯想到我們所熟知的快速排序算法呢？我們知道，快速排序時基於分治模式處理的，對一個典型子數組A[p...r]排序的分治過程爲三個步驟：

分解：A[p..r]被劃分爲倆個（可能空）的子數組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]，使得A[p ..q-1] <= A[q] <= A[q+1 ..r]
.解決：通過遞歸調用快速排序，對子數組A[p ..q-1]和A[q+1 ..r]排序。
合併。

也就是說，快速排序的主要思想便是依託於一個partition分治過程，每一趟排序的過程中，選取的主元都會把整個數組排列成一大一小的序列，繼而遞歸排序完整個數組。

如下僞代碼所示：

快速排序算法的關鍵是PARTITION過程，它對A[p..r]進行就地重排：
PARTITION(A, p, r)
1 x ← A[r]
2 i ← p - 1
3 for j ← p to r - 1
4       do if A[j] ≤ x
5             then i ← i + 1
6                  exchange A[i] <-> A[j]
7 exchange A[i + 1] <-> A[r]
8 return i + 1

繼而遞歸完成整個排序過程：

QUICKSORT(A, p, r)
1 if p < r
2    then q ← PARTITION(A, p, r)   //關鍵
3         QUICKSORT(A, p, q - 1)
4         QUICKSORT(A, q + 1, r)

舉個例子如下：i 指向數組頭部前一個位置，j 指向數組頭部元素，j 在前，i 在後，雙雙從左向右移動。

① j 指向元素2時，i 也指向元素2，2與2互換不變
i p/j
2 8 7 1 3 5 6 4(主元)

② 於是j 繼續後移，直到指向了1，1 <= 4，於是i++，i 指向8，故j 所指元素1 與 i 所指元素8 位置互換：
i j
2 1 7 8 3 5 6 4

③ j 繼續後移，指到了元素3,3 <= 4，於是同樣i++，i 指向7，故j 所指元素3 與 i 所指元素7 位置互換：
i j
2 1 3 8 7 5 6 4

④ j 一路後移，沒有再碰到比主元4小的元素：
i j
2 1 3 8 7 5 6 4

⑤ 最後，A[i + 1] <-> A[r]，即8與4交換，所以，數組最終變成了如下形式：
2 1 3 4 7 5 6 8

ok，至此快速排序第一趟完成。就這樣，4把整個數組分成了倆部分，2 1 3,7 5 6 8，再遞歸對這倆部分分別進行排序。

全部過程可以參看此文：快速排序算法，或看下我以前在學校裏畫的圖：

而我們面對的問題是，重新排列使得所有球排列成三個不同顏色的球，是否可以設定三個指針，借鑑partition過程呢？

解法一、partition分治

通過前面的分析得知，這個問題，類似快排中partition過程。只是需要用到三個指針，一前begin，一中current，一後end，倆倆交換。

current遍歷，整個數組序列，current指1不動，
current指0，與begin交換，而後current++，begin++，
current指2，與end交換，而後，current不動，end--。

爲什麼，第三步，current指2，與end交換之後，current不動了列，對的，正如algorithm__所說：current之所以與begin交換後，current++、begin++，是因爲此無後顧之憂。而current與end交換後，current不動，end--，是因有後顧之憂。

讀者可以試想，你最終的目的無非就是爲了讓0、1、2有序排列，試想，如果第三步，current與end交換之前，萬一end之前指的是0，而current交換之後，current此刻指的是0了，此時，current能動麼？不能動啊，指的是0，還得與begin交換列。

ok，說這麼多，你可能不甚明瞭，直接引用下gnuhpc的圖，就一目瞭然了：

參考代碼如下：

//引用自gnuhpc
while( current<=end )      
{           
  if( array[current] ==0 )           
   {               
      swap(array[current],array[begin]);                
      current++;                
      begin++;          
   }           
   else if( array[current] == 1 )          
   {               
      current++;          
   } 
          
   else //When array[current] =2 
   {             
      swap(array[current],array[end]);              
      end--;          
   }    
}

本章完。

第四十二章：矩陣相乘之Strassen算法

題目描述

請編程實現矩陣乘法，並考慮當矩陣規模較大時的優化方法。

思路分析

根據wikipedia上的介紹：兩個矩陣的乘法僅當第一個矩陣B的列數和另一個矩陣A的行數相等時才能定義。如A是m×n矩陣和B是n×p矩陣，它們的乘積AB是一個m×p矩陣，它的一個元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。

值得一提的是，矩陣乘法滿足結合律和分配率，但並不滿足交換律，如下圖所示的這個例子，兩個矩陣交換相乘後，結果變了：

下面咱們來具體解決這個矩陣相乘的問題。

解法一、暴力解法

其實，通過前面的分析，我們已經很明顯的看出，兩個具有相同維數的矩陣相乘，其複雜度爲O（n^3），參考代碼如下：

//矩陣乘法，3個for循環搞定  
void Mul(int** matrixA, int** matrixB, int** matrixC)  
{  
	for(int i = 0; i < 2; ++i)   
	{  
		for(int j = 0; j < 2; ++j)   
		{  
			matrixC[i][j] = 0;  
			for(int k = 0; k < 2; ++k)   
			{  
				matrixC[i][j] += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];  
			}  
		}  
	}  
}