貪心算法(Greedy Algorithm)之活動選擇問題(Activity-Selection Problem)

原創

hhygcy

2020-02-21 23:13

活動選擇問題是《算法導論》裏面關於貪心算法的第一個問題。這個問題是這樣的。我們有一組活動，每個活動都有一個開始時間Si和結束時間Fi。如下圖:

每個活動都共享同一個公共的資源（比如教室等）所以同一時間只能有一個活動。現在的問題就是要在指定的時間內讓舉辦的活動數量做大。

這個問題是貪心算法一個典型的應用。說到貪心，貪心基本解決問題的方案就是

#1.儘可能在局部找到一個最優的解

#2然後證明這個局部的優化解是全局優化解的一部分

#3最後把這個局部解用遞歸或者迭代的方式推廣到全局。

所謂貪心，一般都會把帶選擇的資源做個權重的排序，每次的最優化子結構的選取其實就是最大權重的選取。就這個活動選擇問題而言，我們將所有的活動結束時間排序。這裏的局部最優解就是指到特定的時間Fi爲止的最優解。這個最優解的貪心意義體現在每次最優解利用了最早結束時間，從而是剩餘時間最大化。

// Activity_Selection.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include <vector> #include <functional> #include <algorithm> #include <iostream> struct activity { int s; int f; }; struct activitySort: public std::binary_function <activity, activity, bool> { bool operator()(const activity& a1, const activity& a2) { return a1.f < a2.f ; } }; struct activityPrint { void operator() (activity a) { std::cout<< "s = "<<a.s <<" , f = "<<a.f <<std::endl;; } }; /** * Description: find the max activity count in a particular time * and print the result *@param a, un-sorted activity set; */ void activity_selector( const std::vector<activity>& av) { std::vector<activity> A; // create one copy since the parameter is const std::vector<activity> a(av); std::sort( a.begin(), a.end(), activitySort() ); A.push_back(a[0]); int j= 0; for (int i=1;i<a.size();i++) { if ( a[i].s >= a[j].f ) { A.push_back(a[i]); j = i; } } std::for_each(A.begin(), A.end(), activityPrint()); } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { // Activity k[] = { {1,4}, {3,5}, {0,6}, {5,7}, {3,8}, {5,9}, {6,10}, {8,11}, {8,12}, {2,11}, {12, 14} }; // un-sorted activity k[] = { {0,6}, {1,4}, {2,11}, {3,5}, {3,8}, {5,7}, {5,9}, {6,10}, {8,11}, {8,12}, {12, 14} }; std::vector<activity> av ( k, k + sizeof(k)/sizeof(k[0]) ); activity_selector(av); system("pause"); return 0; }

以上的activity_selector函數就是這樣的一個迭代的解。在迭代的過程中，每次都保留一個最近選擇活動的index，或者說最近活動的結束時間。用來給後面的活動做比較。（這裏的函數實現的不是很妥當，我加入了一些debug信息什麼的。）

需要注意的事情是，這個算法非常高效。僅用O(n)的時間就可以找到解決方案。如果動態規劃的話。下面就是他的遞歸式：