一直都在看別人用雙三次插值，一直都沒有概念，今天百度了一下，感覺和雙三次樣條原理類似，只不過計算簡單點，自己也比較了兩者的計算時間，雙三次樣條的時間確實要長些。
一：數學原理
如果已知一個函數f(x)以及它在x=0,x=1處的導數，那麼函數可以在[0,1]之間插值，當函數
表達爲三次多項式時我們稱之謂立方插值。一個三次多項式及其導數：
f(x) =ax^3 +bx^2 + cx + d
f’(x)=3ax^2 + 2bx +c
多項式在x=0, x=1處值及其導數值爲：
f(0)= d;
f(1)= a + b + c + d;
f’(0)=c
f’(1)=3a + 2b + c
上述的四個等式可以等價的變換爲:
a= 2f(0) – 2f(1) + f’(0) + f’(1)
b= -3f(0) + 3f(1) – 2f’(0) – f’(1)
c= f’(0)
d= f’(1)
假設你有四個點值p0, p1, p2, p3分別在x=-1, x=0, x=1, x=2, 把值分別指定到f(0), f(1), f’(0),
f’(1)中爲:
f(0)= p1
f(1)= p2
f’(0)= (p2 – p0)/2
f’(1)= (p3-p1)/2
這個我們的立方插值公式變成:
f(p0,p1,p2,p3, x) = (-1/2p0 + 3/2p1 -3/2p2+ 1/2p3)x^3 + (p0-5/2p1 + 2p2 -1/2d)x^2 + (-1/2p0 +
1/2p2)x + p1
雙立方插值是立方插值在二維空間的表達, 插值公式可以表述爲:
G(x, y) = f (f (p00, p01, p02, p03, y), f(p10,p11, p12, p13, y), f(p20, p21, p22, p23, y), f(p30, p31, p32, p33, y), x)
解出其中的16個參數，即可得帶G(x, y)目標插值點的值。
二：雙立方插值優缺點
雙立方插值在圖像放大過程可以保留更多的圖像細節，放大以後的圖像帶有反鋸齒的功能，
同時圖像和源圖像相比效果更加真實, 缺點是計算量比較大，是常見的三種圖像放大算法中
計算量最大的一種，據說Photoshop的圖像放大就是基本雙立方插值的優化算法
三：程序運行效果如下：
四：關鍵代碼解析
不想解釋太多，最重要的是代入計算的是浮點數座標的小數部分，即 x, y的取值範圍均在[0,1]之間
