離散卷積及計算

離散卷積的定義：

將兩個離散序列中的數，按照規則，兩兩相乘再相加的操作。

卷積運算：

的長度是 ， 的長度是 ， 的長度是

計算卷積的過程：序列翻轉，移位，相乘，取和

計算舉例：

其中k等於a的長度。

翻轉移位相乘的操作如下：

代碼實現：

Matlab代碼：

a=[1,2,3];
b=[2,3,1];
y=conv(b,a);

C++代碼：

這裏實現的主要問題有幾個：

1.k的取值範圍：和a的長度相關

2.b的下標，如果按照公式來看的話比較直接，但是按照翻轉移位來寫就會比較令人迷惑

3.卷積滿足交換律

void convolution(int a[],int b[],int NA,int NB)
{
	int NC=NA+NB-1;
	int *c=(int *)malloc(sizeof(int)*NC);
	memset(c,0,sizeof(int)*NC);
	for(int n=0;n<NC;n++)
	{
		for(int k=0;k<NA;k++)
		{
			int bindex=n-k;
			if(bindex>=0&&bindex<NB)
			{
				c[n]+=a[k]*b[bindex];
			}
		}
	}
	for(int n=0;n<NC;n++)
		printf("%d ",c[n]);
}

離散卷積與傅里葉變換的關係：

圖源自：快速傅里葉變換：算法與應用

使用matlab代碼驗證

clear;
a=[1,2,3];
b=[2,3,1];
c1=conv(a,b);
na=length(a);
nb=length(b);
for i=na+1:na+nb-1
    a(1,i)=0;
end
for i=nb+1:na+nb-1
    b(1,i)=0;
end
FA=fft(a);
FB=fft(b);
FC=FA.*FB;
c2=ifft(FC);

這個代碼裏的pad0的長度只需要大於等於na+nb-1即可，可以設置的更大。

c1: 2     7    13    11     3
c2: 2.0000    7.0000   13.0000   11.0000    3.0000