UVALive 7003 A Balance Game on Trees（樹形dp）

題目鏈接：
UVALive 7003 A Balance Game on Trees
題意：
給一個n 個節點和每個節點的兒子的有根樹，根爲1，初始時樹上每個節點的顏色都爲白色，現在要將樹上的一些節點的顏色染爲黑色使得每個白色節點的周圍（直接相連的邊的另一端）恰好有K 個黑色節點，求最多可以保留多少個白色節點？
數據範圍：n≤100,K≤10
分析：
每個節點的顏色無非兩種：黑色和白色。我們用black[u] 和white[u] 表示當u 分別是黑色和白色時，以u 爲根的子樹最多可以保留多少個白色節點。但是由於白色節點的周圍有黑色節點的數量限制，所以對於白色的情況再加一維：white[u][i] 當u爲白色節點且u的周圍有i 個黑色節點時的最優解。

從根節點1 開始dfs :

• black[u] 的狀態轉移：
  對於u 的每一個兒子v ，如果v 的兒子數量大於等於K−1 ，那麼如果選擇v 的顏色爲白色（記此時的答案爲son ），可以得到的最優解是：son=white[v][K−1]+1 ，否則v 節點就不能染爲白色（因爲v 節點的周圍不能湊夠K 個黑色節點），也就是son=0 。
  

  black[u]+=max(black[v],son)

• white[u][] 的狀態轉移：
  這時對於u 從它的每個兒子v 的狀態轉移只能v 是黑色或者white[v][K] 。
  考慮white[u][i] 的情況，這裏需要u 的所有兒子中有i 個是黑色，其餘的是白色。如何求這個最優解呢？如果暴力枚舉的話，最壞的時間複雜度是：O(2n) ！o(╯□╰)o
  我們先把所有兒子全是白色的情況相加記爲sum ：
  

  sum=∑white[v][K]
  
  再把每個兒子選擇黑色和白色的最優解差值記爲diff[] ：
  
  diff[i]=black[v]−white[v][K]
  
  因爲必須有i 個兒子是黑色，那麼我們選擇的這i 個兒子必然是diff 值最大的前i 個！詳情看代碼～

  最壞的時間複雜度是：O(n2logn∗K) ，實際運行是應遠小於這個複雜度。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAX_N = 110;

int T, n, K, sum;
int white[MAX_N][15], black[MAX_N], vis[MAX_N], diff[MAX_N];
vector<int> vec[MAX_N];

void dfs_son(int u, int p)
{
    int size = vec[u].size();
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        int v = vec[u][i];
        dfs_son(v, u);
    }
    sum = 0;
    for (int i = 0; i < size; ++i) {
        int v = vec[u][i];
        int son = 0;
        if (vec[v].size() >= K - 1) son = white[v][K - 1] + 1;
        black[u] += max(son, black[v]);

        son = white[v][K];
        sum += son;
        diff[i] = black[v] - son;
    }
    sort(diff, diff + size);
    for (int i = 1; i <= K; ++i) {
        if (i > size) break;
        white[u][i] = sum;
        for (int j = size - 1; j >= size - i; --j) {
            white[u][i] += diff[j];
        }
    }
    if (size >= K) white[u][K]++;
}

int main()
{
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        scanf("%d%d", &n, &K);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) { vec[i].clear(); }
        memset(black, 0, sizeof(black));
        memset(white, 0, sizeof(white));

        getchar();
        for (int i = 1, j; i <= n; ++i) {
            while (1) {
                scanf("%d", &j);
                if (j == 0) break;
                vec[i].push_back(j);
                if (getchar() == '\n') break;
            }
        }
        dfs_son(1, 0);
        printf("%d\n", max(black[1], white[1][K]));
    }
    return 0;
}