字符串匹配是一維模式匹配的特例；是查找在字符串text中是否存在字符串pattern的一種操作。
字符串匹配的形式化定義大體如下：
設字符集合A。text和pattern是定義在字符集合A上的兩個字符串；設|text|是text的長度，
|pattern|是pattern的長度。找到非負整數pos(pos < |text|-|pattern|)，使等式：
pattern[i] = text[pos+i] (i < |pattern|) (1)
對所有使pattern[i]有意義的非負整數i成立。
有三個著名的字符串匹配算法：
1. Knuth, Morris, and Pratt的KMP算法；
2. Boyer and Moore的BM算法；
3. two-way算法；
這三個算法的時間複雜度都是O(n)。空間複雜度前兩個是O(n)，two-way算法是O(1)。
two-way是對前兩個算法的一種改進。
我機器上的GNU Lib C中的strstr函數是用two-way算法實現。
two-way算法主要依據Critical Factorization理論。以下簡述Critical Factorization理論。
詳細敘述和證明可在參考文獻中找到。
要理解Critical Factorization理論，先要理解字符串的period：
設w是定義在字符集A上的非空字符串。設|w|是w的長度。存在正整數p，對所有滿足模p同餘的
非負整數i，j (i,j < |x|)，等式：
w[i] = w[j] (2)
都成立。則p稱爲字符串w的period。w最小的period記作p(w)。
若存在正整數wp使等式：
w[i] = w[wp+i] (3)
對所有使等式兩邊有意義的i都成立，那麼wp稱爲字符串w的weak period。
若正整數lp稱爲非空字符串w在位置l的local period，則有定義在A上的字符串u, v, x，使
w=uv; |u|=l+1;|x|=lp;並使字符串r,s滿足下列條件之一：
1. u = rx && v = xs
2. x = ru && v = xs (r不是空字符串)
3. u = rx && x = vs (s不是空字符串)
4. x = ru && x = vs (r,s不是空字符串)
字符串w在位置l的最小local period記作p(w, l)。若此時p(w, l)=p(w)，則字符串對(u, v)
稱爲w的Critical Factorization， l稱爲critical position。
two-way算法的第一步就是找到Critical Factorization。使用maximal suffix方法，依據如下理論：
字符串w的子字符串記作w[i..e)=w[i]w[i+1]...w[e-1]。w的最大後綴定義爲：
存在整數i(i >= 0 && i < |w|)，使得對字符串w有意義的所有整數j滿足下式：
u[j..|w|) <= u[i..|w|) (4)
字符串的逆向最大後綴的定義與上述定義相似，只是將(4)式改成：
u[j..|w|) >= u[i..|w|) (5)
可以證明字符串w(|w| >= 2)至少有一個critical factorization，且l < p。此外設v是w的
maximal suffix，且w = uv。設m是w的tilde maximal suffix，且w = nm。如果v <= m那麼
(n,m)是w的是critical factorization。如果v > m那麼(u, v)是w的critical factorization。
two-way算法的執行過程可參見我寫的實驗代碼，這段代碼只是對算法的簡單直接演繹。
對two-way完整和優化的演繹可參見GNU Lib C中的strstr函數，它對許多特殊情況做了適當優化。
有關算法正確性的證明可參見參考文獻。
我對代碼進行一下簡要說明。tw_strstr的語義和C標準庫strstr的語義基本一樣，區別在於tw_strstr
返回的是數組索引而不是指針，如果沒找到返回-1。i, j分別是pattern的critical position
兩邊迭代的索引，s用於記錄pattern前綴的匹配情況，pos是每次匹配的基準點，p是local period。
"if(!memcmp(pat, pat + p, l + 1))"的目的是監測子串pattern[0..l]是否是子串pattern[l+1..l+p]
的後綴。要注意算法對變量pos和s的處理。之所以可以作這樣的處理，是因爲critical
factorization所具有的特性。
編譯：
g++ -g -W -Wall -Wextra -o mytest main.cpp
執行:
./mytest
參考文獻：
MAXIME CROCHEMORE, DOMINIQUE PERRIN有關two-way的論文；
http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/node26.html#SECTION00260；
GNU Lib C strstr函數的源代碼；
=====================================================================================
main.cpp:
// 2010年10月16日 星期六 20時34分02秒 CST
// author: 李小丹(Li Shao Dan) 字 殊恆(shuheng)
// K.I.S.S
// S.P.O.T
/*
*
* Copyright © 2009 李小丹(Li Shao Dan)
*
* Permission to use, copy, modify, distribute and sell this software
* and its documentation for any purpose is hereby granted without fee,
* provided that the above copyright notice appear in all copies and
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* in supporting documentation. 李小丹(Li Shao Dan) makes no
* representations about the suitability of this software for any
* purpose. It is provided "as is" without express or implied warranty.
*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;
#define TEXT_BUFSIZE 32
#define PAT_BUFSIZE 128
#define MAX(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
static void generate_text(char *, int);
static int max_suffix(const char *, int, int *);
static int max_suffix_tilde(const char *, int, int *);
static int tw_strstr(const char *, const char *);
int main()
{
srand(time(0));
char text[TEXT_BUFSIZE];
char pat[PAT_BUFSIZE];
int fp;
generate_text(text, TEXT_BUFSIZE);
cout << "text: " << text << endl;
cout << "pattern: ";
while(cin >> pat) {
if((fp = tw_strstr(text, pat)) >= 0) {
cout << "Position: " << fp << endl;
cout << "Sub string: " << &text[fp] << endl;
} else {
cout << "Text: " << text << endl;
cout << "Pattern: " << pat << endl;
cout << "Can't find!" << endl;
}
cout << "============================================/n";
generate_text(text, TEXT_BUFSIZE);
cout << "text: " << text << endl;
cout << "pattern: ";
}
return 1;
}
static int tw_strstr(const char *text, const char *pat)
{
int tlen = strlen(text);
int plen = strlen(pat);
int l1, l2, p1, p2;
l1 = max_suffix(pat, plen, &p1);
l2 = max_suffix_tilde(pat, plen, &p2);
int l, p;
if(l1 > l2) {
l = l1;
p = p1;
} else {
l = l2;
p = p2;
}
int pos = -1;
int s = -1;
int i, j;
if(!memcmp(pat, pat + p, l + 1)) {
while(pos + plen <= tlen) {
i = MAX(l, s) + 1;
while(i < plen && pat[i] == text[pos+i])
++i;
if(i < plen) {
pos += MAX(i - l, s - p + 1);
s = -1;
} else {
j = l;
while(j > s && pat[j] == text[pos+j])
--j;
if(j <= s)
return pos;
pos += p;
s = tlen - p - 1;
}
}
} else {
p = MAX(l + 1, plen - l - 1) + 1;
while(pos + plen <= tlen) {
i = l + 1;
while(i < plen && pat[i] == text[pos+i])
++i;
if(i < plen) {
pos += (i - l);
} else {
j = l;
while(j >= 0 && pat[j] == text[pos+j])
--j;
if(j < 0)
return pos;
pos += p;
}
}
}
return -1;
}
static int max_suffix(const char *buf, int len, int *p)
{
int i = -1, j = 0;
int k = 1;
*p = 1;
char a, b;
while(j + k < len) {
a = buf[i + k];
b = buf[j + k];
if(b < a) {
j += k;
k = 1;
*p = j - i;
} else if(b == a) {
if(k == *p) {
j += *p;
k = 1;
} else {
++k;
}
} else {
i = j;
++j;
k = *p = 1;
}
}
return i;
}
static int max_suffix_tilde(const char *buf, int len, int *p)
{
int i = -1, j = 0;
int k = 1;
*p = 1;
char a, b;
while(j + k < len) {
a = buf[i + k];
b = buf[j + k];
if(b > a) {
j += k;
k = 1;
*p = j - i;
} else if(b == a) {
if(k == *p) {
j += *p;
k = 1;
} else {
++k;
}
} else {
i = j;
++j;
k = *p = 1;
}
}
return i;
}
static void generate_text(char *text, int len)
{
static char alphabeta[] = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz0123456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
static int ablen = sizeof(alphabeta) - 1;
for(int i = 0; i < len - 1; ++i)
text[i] = alphabeta[rand() % ablen];
text[len-1] = 0;
}
