看了很多博客，感覺很多人對np.random.binomial()的解釋都寫得不是很清楚，或者寫錯了，特別是對該函數的參數解釋。本文以二項式分佈的理論概念爲起點，對該函數進行解釋，歡迎討論指正。
二項式分佈
二項分佈是由伯努利提出的概念，指的是重複n次（注意：這裏的n和binomial()函數參數n不是一個意思）獨立的伯努利試驗，如果事件X服從二項式分佈，則可以表示爲X~B(n,p)，則期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。簡單來講就是在每次試驗中只有兩種可能的結果（例如：拋一枚硬幣，不是正面就是反面，而擲六面體色子就不是二項式分佈），而且兩種結果發生與否互相對立，並且相互獨立，與其它各次試驗結果無關，事件發生與否的概率在每一次獨立試驗中都保持不變。
函數原型及參數：numpy.random.binomial(n,p,size=None)
官方參數的解釋如下：
| 參數 | 解釋 |
|---|---|
| n | int型或者一個int型的數組，大於等於0，接受浮點數但是會被截斷（官方解釋：n is truncated to an integer，例如：輸入4.6或者4.2都會被當做4來計算）成整數來使用。 |
| p | float或者一組float的數組，0≤p≤1； |
| size | 可選項，int或者int的元組，表示的輸出的大小，如果提供了size，例如(m,n,k)，那麼會返回m×n×k個數值。如果size=None，也就是默認沒有的情況，當n和p都是一個數字的時候只會返回一個值，否則返回的是np.broadcast(n,p).size個數值。 |
| reture | 返回值。size是一個整數N時，返回一個長度爲N的一維數組；size是（X，Y）類型元組時，返回一個X行Y列二維數組；size是（X，Y，Z）類型元組時，返回一個三維數組（三維數組不能以三維形式直接輸出，會輸出X個Y行Z列的二維數組，以此類推）。 |
官方解釋中只規定了參數的類型和範圍，但是並沒有給出具體的數學意義，不便於理解。現在對逐個參數進行解釋：
參數n：一次試驗的樣本數n，並且相互不干擾。 有些博客解釋這裏的參數n是試驗次數，我認爲不對，或許現在看起來好像一次試驗n個互不相干的樣本和n次試驗一個樣本是一樣的，但是如果把n理解爲試驗次數，那和size參數的意義會產生衝突；
參數p：事件發生的概率p，範圍[0,1]。這裏有個理解的關鍵就是 “事件發生”到底是指的什麼事件發生？準確來講是指：如果一個樣本發生的結果要麼是A要麼是B，事件發生指的是該樣本其中一種結果發生。
參數size：限定了返回值的形式（具體見上面return的解釋）和實驗次數。當size是整數N時，表示實驗N次，返回每次實驗中事件發生的次數；size是（X，Y）時，表示實驗X*Y次，以X行Y列的形式輸出每次試驗中事件發生的次數。（如果將n解釋爲試驗次數而不是樣本數的話，這裏返回數組中數值的意義將很難解釋）。
return返回值 ： 以size給定的形式，返回每次試驗事件發生的次數，次數大於等於0且小於等於參數n。注意：每次返回的結果具有隨機性，因爲二項式分佈本身就是隨機試驗。
給出幾個例子：
例1： n=1時，重複伯努利試驗。
一次拋一枚硬幣試驗，正面朝上發生的概率爲0.5，做10次實驗，求每次試驗發生正面朝上的硬幣個數：
test = np.random.binomial(1, 0.5, 10)
print(test)
輸出：[1 1 1 0 1 1 1 0 0 0]
例2： n>1時，多個樣本進行試驗：
一次拋5枚硬幣，每枚硬幣正面朝上概率爲0.5，做10次試驗，求每次試驗發生正面朝上的硬幣個數：
test = np.random.binomial(5, 0.5, 10)
print(test)
輸出：[1 5 5 2 4 2 3 3 2 3]
例3： size爲元組的形式時：
一次拋5枚硬幣，每硬幣正面朝上概率爲0.5，做10次試驗，求每次試驗發生正面朝上的硬幣個數：
test = np.random.binomial(5, 0.5, (10, 5))
print(test)
輸出二維數組（ndarray類型）：
[[1 2 2 4 1]
[2 5 3 4 3]
[1 4 1 2 4]
[3 1 1 3 1]
[1 4 2 4 2]
[0 1 3 2 2]
[4 2 1 1 2]
[2 5 3 2 3]
[1 1 2 2 2]
[3 2 1 4 2]]
例4： 一次拋2個硬幣，每枚硬幣拋到正反兩面的概率都是0.5，那麼兩個硬幣都是正面的概率是多少？發生一正一反的概率是多少？
顯然答案是0.25和0.5，試驗次數越大，越能接近理論概率：
test = sum(np.random.binomial(2, 0.5, 100000) == 2) / 100000
print(test)
輸出：0.24843
test = sum(np.random.binomial(2, 0.5, 100000) == 1) / 100000
print(test)
輸出：0.49938
