最近在學習svm算法，藉此文章記錄自己的學習過程，在學習很多處借鑑了z老師的講義和李航的統計，若有不足的地方，請海涵；svm算法通俗的理解在二維上，就是找一分割線把兩類分開，問題是如下圖三條顏色都可以把點和星劃開，但哪條線是最優的呢，這就是我們要考慮的問題；
首先我們先假設一條直線爲 W•X+b =0 爲最優的分割線，把兩類分開如下圖所示，那我們就要解決的是怎麼獲取這條最優直線呢?及W 和 b 的值；在SVM中最優分割面(超平面)就是：能使支持向量和超平面最小距離的最大值；
我們的目標是尋找一個超平面，使得離超平面比較近的點能有更大的間距。也就是我們不考慮所有的點都必須遠離超平面，我們關心求得的超平面能夠讓所有點中離它最近的點具有最大間距。
如上面假設藍色的星星類有5個樣本，並設定此類樣本標記爲Y =1，紫色圈類有5個樣本，並設定此類標記爲 Y =-1，共 T ={(X₁ ,Y₁) , (X₂,Y₂) (X₃,Y₃) .........} 10個樣本，超平面（分割線）爲wx+b=0; 樣本點到超平面的幾何距離爲：
此處要說明一下：函數距離和幾何距離的關係；定義上把 樣本| w▪x₁+b|的距離叫做函數距離，而上面公式爲幾何距離，你會發現當w 和b 同倍數增加時候，函數距離也會通倍數增加；簡單個例子就是，樣本 X₁ 到 2wX₁+2b =0的函數距離是wX₁ +b =0的函數距離的 2倍；而幾何矩陣不變；
下面我們就要談談怎麼獲取超平面了？！
超平面就是滿足支持向量到其最小距離最大，及是求：max [支持向量到超平面的最小距離] ；那隻要算出支持向量到超平面的距離就可以了吧 ，而支持向量到超平面的最小距離可以表示如下公式:
故最終優化的的公式爲：
根據函數距離和幾何距離可以得知，w和b增加時候，幾何距離不變，故怎能通過同倍數增加w和 b使的支持向量（距離超平面最近的樣本點）上樣本代入 y(w*x+b) =1,而不影響上面公式的優化，樣本點距離如下：如上圖其r1函數距離爲1，k1函數距離爲1,而其它
樣本點的函數距離大於1，及是：y(w•x+b)>=1，把此條件代入上面優化公式候，可以獲取新的優化公式1-3：
公式1-3見下方：優化最大化分數，轉化爲優化最小化分母，爲了優化方便轉化爲公式1-4
爲了優化上面公式，使用拉格朗日公式和KTT條件優化公式轉化爲：
對於上面的優化公式在此說明一下：比如我們的目標問題是 minf(x)。可以構造函數L(a,b,x)：
此時 f(x)
與 maxa,bL(a,b,x)
是等價的。因爲 h(x)=0,g(x)≤0,a⋅g(x)≤0，所以只有在a⋅g(x)=0
的情況下
L(a,b,x) 才能取得最大值，因此我們的目標函數可以寫爲minxmaxa,bL(a,b,x)。如果用對偶表達式：maxa,bminxL(a,b,x)，
由於我們的優化是滿足強對偶的（強對偶就是說對偶式子的最優值是等於原問題的最優值的），所以在取得最優值x∗
的條件下，它滿足 :
f(x∗)=maxa,bminxL(a,b,x)=minxmaxa,bL(a,b,x)=f(x∗)，
結合上面的一度的對偶說明故我們的優化函數如下面，其中a >0
現在的優化方案到上面了，先求最小值，對 w 和 b 分別求偏導可以獲取如下公式：
把上式獲取的參數代入公式優化max值：
化解到最後一步，就可以獲取最優的a值：
以上就可以獲取超平面！
但在正常情況下可能存在一些特異點，將這些特異點去掉後，剩下的大部分點都能線性可分的，有些點線性不可以分，意味着此點的函數距離不是大於等於1，而是小於1的，爲了解決這個問題，我們引進了鬆弛變量 ε>=0; 這樣約束條件就會變成爲：
故原先的優化函數變爲：
對加入鬆弛變量後有幾點說明如下圖所以；距離小於1的樣本點離超平面的距離爲d ,在綠線和超平面之間的樣本點都是由損失的，
其損失變量和距離d 的關係，可以看出 ξ = 1-d , 當d >1的時候會發現ξ =0，當 d<1 的時候
ξ = 1-d ;故可以畫出損失函數圖，如下圖1-7；樣式就像翻書一樣，我們把這個損失函數叫做 hinge損失；
下面我們簡單的就來討論一下核函數：核函數的作用其實很簡單就是把低維映射到高維中，便於分類。核函數有高斯核等,下面就直接上圖看參數對模型的影響，從下圖可以瞭解，當C變化時候，容錯變小，泛化能力變小；當選擇高斯核函數的時候，隨時R參數調大，準確高提高，最終有過擬合風險；
下面就直接上代碼了（鳶尾花SVM二特徵分類）：
iris_feature = u'花萼長度', u'花萼寬度', u'花瓣長度', u'花瓣寬度'
if __name__ == "__main__":
path = 'iris.data' # 數據文件路徑
data = pd.read_csv(path, header=None)
x, y = data[range(4)], data[4]
y = pd.Categorical(y).codes
x = x[[0, 1]]
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(x, y, random_state=1, train_size=0.6)
# 分類器
clf = svm.SVC(C=0.3, kernel='linear', decision_function_shape='ovo')
clf.fit(x_train, y_train.ravel())
# 準確率
print clf.score(x_train, y_train) # 精度
print '訓練集準確率：', accuracy_score(y_train, clf.predict(x_train))
print clf.score(x_test, y_test)
print '測試集準確率：', accuracy_score(y_test, clf.predict(x_test))
x1_min, x2_min = x.min()
x1_max, x2_max = x.max()
x1, x2 = np.mgrid[x1_min:x1_max:500j, x2_min:x2_max:500j] # 生成網格採樣點
grid_test = np.stack((x1.flat, x2.flat), axis=1) # 測試點
print 'grid_test = \n', grid_test
Z = clf.decision_function(grid_test)
Z = Z[:,0].reshape(x1.shape)
print "decision_function:",Z
grid_hat = clf.predict(grid_test)
grid_hat = grid_hat.reshape(x1.shape)
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
cm_light = mpl.colors.ListedColormap(['#A0FFA0', '#FFA0A0', '#A0A0FF'])
cm_dark = mpl.colors.ListedColormap(['g', 'r', 'b'])
plt.figure(facecolor='w')
plt.pcolormesh(x1, x2, grid_hat, cmap=cm_light)
plt.scatter(x[0], x[1], c=y, edgecolors='k', s=50, cmap=cm_dark) # 樣本
plt.scatter(x_test[0], x_test[1], s=120, facecolors='none', zorder=10) # 圈中測試集樣本
plt.xlabel(iris_feature[0], fontsize=13)
plt.ylabel(iris_feature[1], fontsize=13)
plt.xlim(x1_min, x1_max)
plt.ylim(x2_min, x2_max)
plt.title(u'鳶尾花SVM二特徵分類', fontsize=16)
plt.grid(b=True, ls=':')
plt.show()
