擴展歐幾里德算法

• 遇見這道題，對求最大公約數又有了新的認識

歐幾里得問題

int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) 
        return a;
    else 
        return gcd(b, a%b);
}

擴展歐幾里得問題

• 對於ax + by = c; 在 c % gcd(a,b) = 0的時候，我們一般先求 a/gcd(a,b) x + b/gcd(a,b) y = 1的解，然後在擴大c倍，就是原問題的解。當然c % gcd(a,b) ！= 0 的時候，原問題無解。
• 根據下面參考文獻中的原理，我們可以得到下面的程序：

#include<iostream>
using namespace std;
void gcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y) {
    if (!b) {
        d = a;
        x = 1;
        y = 0;
    }else {
        gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);   //***
    }
}
int main() {
    int a, b, d, x, y;
    a = 6;
    b = 15; 
    gcd(a, b, d, x ,y);
    cout << x << " " << y << " " << d;
}

• 對於程序中加*號的地方，我的理解：
  
  • 由參考文獻可知，x1 = y2; y1 = x2 - a/b * y2; 因爲經過了一步，gcd(b, a%b, d, y, x); 所以 此時的 y = x2; x = y2; 所以根據將 y1 公式翻過去就是 y = y - x *(a/b);

參考

• http://blog.csdn.net/rising_fallmoon/article/details/10724239（這個是推導過程）