1、 概述
二叉查找樹（Binary Search Tree，也叫二叉排序樹，即Binary Sort Tree）能夠支持多種動態集合操作，它可以用來表示有序集合、建立索引等，因而在實際應用中，二叉排序樹是一種非常重要的數據結構。
從算法複雜度角度考慮，我們知道，作用於二叉查找樹上的基本操作（如查找，插入等）的時間複雜度與樹的高度成正比。對一個含n個節點的完全二叉樹，這些操作的最壞情況運行時間爲O(log n)。但如果因爲頻繁的刪除和插入操作，導致樹退化成一個n個節點的線性鏈（此時即爲一個單鏈表），則這些操作的最壞情況運行時間爲O(n)。爲了克服以上缺點，很多二叉查找樹的變形出現了，如紅黑樹、AVL樹，Treap樹等。
本文介紹了二叉查找樹的一種改進數據結構–伸展樹（Splay Tree）。它的主要特點是不會保證樹一直是平衡的，但各種操作的平攤時間複雜度是O(log n)，因而，從平攤複雜度上看，二叉查找樹也是一種平衡二叉樹。另外，相比於其他樹狀數據結構（如紅黑樹，AVL樹等），伸展樹的空間要求與編程複雜度要小得多。
2、 基本操作
伸展樹的出發點是這樣的：考慮到局部性原理（剛被訪問的內容下次可能仍會被訪問，查找次數多的內容可能下一次會被訪問），爲了使整個查找時間更小，被查頻率高的那些節點應當經常處於靠近樹根的位置。這樣，很容易得想到以下這個方案：每次查找節點之後對樹進行重構，把被查找的節點搬移到樹根，這種自調整形式的二叉查找樹就是伸展樹。每次對伸展樹進行操作後，它均會通過旋轉的方法把被訪問節點旋轉到樹根的位置。
爲了將當前被訪問節點旋轉到樹根，我們通常將節點自底向上旋轉，直至該節點成爲樹根爲止。“旋轉”的巧妙之處就是在不打亂數列中數據大小關係（指中序遍歷結果是全序的）情況下，所有基本操作的平攤複雜度仍爲O（log n）。
伸展樹主要有三種旋轉操作，分別爲單旋轉，一字形旋轉和之字形旋轉。爲了便於解釋，我們假設當前被訪問節點爲X，X的父親節點爲Y（如果X的父親節點存在），X的祖父節點爲Z（如果X的祖父節點存在）。
（1） 單旋轉
節點X的父節點Y是根節點。這時，如果X是Y的左孩子，我們進行一次右旋操作；如果X 是Y 的右孩子，則我們進行一次左旋操作。經過旋轉，X成爲二叉查找樹T的根節點，調整結束。
（2） 一字型旋轉
節點X 的父節點Y不是根節點，Y 的父節點爲Z，且X與Y同時是各自父節點的左孩子或者同時是各自父節點的右孩子。這時，我們進行一次左左旋轉操作或者右右旋轉操作。
（3） 之字形旋轉
節點X的父節點Y不是根節點，Y的父節點爲Z，X與Y中一個是其父節點的左孩子而另一個是其父節點的右孩子。這時，我們進行一次左右旋轉操作或者右左旋轉操作。
3、伸展樹區間操作
在實際應用中，伸展樹的中序遍歷即爲我們維護的數列，這就引出一個問題，怎麼在伸展樹中表示某個區間？比如我們要提取區間[a,b]，那麼我們將a前面一個數對應的結點轉到樹根，將b 後面一個結點對應的結點轉到樹根的右邊，那麼根右邊的左子樹就對應了區間[a,b]。原因很簡單，將a 前面一個數對應的結點轉到樹根後， a 及a 後面的數就在根的右子樹上，然後又將b後面一個結點對應的結點轉到樹根的右邊，那麼[a,b]這個區間就是下圖中B所示的子樹。
利用區間操作我們可以實現線段樹的一些功能，比如回答對區間的詢問（最大值，最小值等）。具體可以這樣實現，在每個結點記錄關於以這個結點爲根的子樹的信息，然後詢問時先提取區間，再直接讀取子樹的相關信息。還可以對區間進行整體修改，這也要用到與線段樹類似的延遲標記技術，即對於每個結點，額外記錄一個或多個標記，表示以這個結點爲根的子樹是否被進行了某種操作，並且這種操作影響其子結點的信息值，當進行旋轉和其他一些操作時相應地將標記向下傳遞。
與線段樹相比，伸展樹功能更強大，它能解決以下兩個線段樹不能解決的問題：
（1） 在a後面插入一些數。方法是：首先利用要插入的數構造一棵伸展樹，接着，將a 轉到根，並將a 後面一個數對應的結點轉到根結點的右邊，最後將這棵新的子樹掛到根右子結點的左子結點上。
（2） 刪除區間[a,b]內的數。首先提取[a,b]區間，直接刪除即可。
4、實現
代碼全部來自【參考資料2】。
（1）旋轉操作
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// node 爲結點類型，其中ch[0]表示左結點指針，ch[1]表示右結點指針// pre 表示指向父親的指針// Rotate函數用於（左/右）旋轉x->prevoid
Rotate(node *x, int
d) // 旋轉操作，d=0 表示左旋，d=1 表示右旋{ node *y = x->pre; Push_Down(y), Push_Down(x); // 先將Y 結點的標記向下傳遞（因爲Y 在上面），再把X 的標記向下傳遞 y->ch[! d] = x->ch[d]; if
(x->ch[d] != Null) x->ch[d]->pre = y; x->pre = y->pre; if
(y->pre != Null) if
(y->pre->ch[0] == y) y->pre->ch[0] = x; else
y->pre->ch[1] = x; x->ch[r] = y, y->pre = x, Update(y);
// 維護Y 結點 if
(y == root) root = x; // root 表示整棵樹的根結點} |
（2）splay操作
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void
Splay(node *x, node *f) // Splay 操作，表示把結點x 轉到結點f 的下面{ for
(Push_Down(x) ; x->pre != f; ) // 一開始就將X 的標記下傳 if
(x->pre->pre == f) // 父結點的父親即爲f，執行單旋轉 if
(x->pre->ch[0] == x) Rotate(x, 1); else
Rotate(x, 0); else { node *y = x->pre, *z = y->pre; if
(z->ch[0] == y) if
(y->ch[0] == x) Rotate(y, 1), Rotate(x, 1);
// 一字形旋轉 else Rotate(x, 0), Rotate(x, 1);
// 之字形旋轉 else if
(y->ch[1] == x) Rotate(y, 0), Rotate(x, 0);
// 一字形旋轉 else Rotate(x, 1), Rotate(x, 0);
// 之字形旋轉 } Update(x);
// 最後再維護X 結點} |
（3）將第k個數轉到要求的位置
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// 找到處在中序遍歷第k 個結點，並將其旋轉到結點f 的下面void
Select(int k, node *f){ int
tmp; node *t; for
(t = root; ; ) // 從根結點開始 { Push_Down(t);
// 由於要訪問t 的子結點，將標記下傳 tmp = t->ch[0]->size;
// 得到t 左子樹的大小 if
(k == tmp + 1) break;
// 得出t 即爲查找結點，退出循環 if
(k <= tmp) // 第k 個結點在t 左邊，向左走 t = t->ch[0]; else
// 否則在右邊，而且在右子樹中，這個結點不再是第k 個 k -= tmp + 1, t = t->ch[1]; } Splay(t, f);
// 執行旋轉} |
5、 應用
（1） 數列維護問題
題目：維護一個數列，支持以下幾種操作：
1. 插入：在當前數列第posi 個數字後面插入tot 個數字；若在數列首位插入，則posi 爲0。
2. 刪除：從當前數列第posi 個數字開始連續刪除tot 個數字。
3. 修改：從當前數列第posi 個數字開始連續tot 個數字統一修改爲c 。
4. 翻轉：取出從當前數列第posi 個數字開始的tot 個數字，翻轉後放入原來的位置。
5. 求和：計算從當前數列第posi 個數字開始連續tot 個數字的和並輸出。
6. 求和最大子序列：求出當前數列中和最大的一段子序列，並輸出最大和。
（2） 輕量級web服務器lighttpd中用到數據結構splay tree.
6、 參考資料
（1） 楊思雨《伸展樹的基本操作與應用》
（2） Crash《運用伸展樹解決數列維護問題》
