不要被階乘嚇到

編程之美有一道關於階乘的題目：
1給定一個整數N，那麼N的階乘等於N!，末尾有多少個0呢，例如N=10，N!=3628800，N!的末尾有兩個0
2求N!的二進制表示中最低位爲1的位置。
階乘定義：

n!={1n(n−1)!n=0n>0∀n∈N

作者對於問題一的分析：對N!進行質因數分解： N!=2X*3Y*5Z…，因爲10=2*5，所以M與2和5的個數即X、Z有關。每一對2和5都可以得到10，故M=min(X,Z)。因爲能被2整除的數出現的頻率要比能被5整除的數出現的頻率高，所以M=Z。
解法一：
直接計算因式分解中5的指數，然後求和.
代碼實現：

#include <iostream>
using namespace std;
int findZero(int N)
{
   int ret=0;
   for(int i=1;i<=N;i++)
   {
      int j=i;
      //計算每個階乘相乘數字分解因式5的個數
      while(j%5==0)
      {
         ret++;
         j/=5;
      }
   }
   return ret;
}

解法二：
作者根據[N/k]等於1，2，3 ，…，N中能被k整除的數的個數規律，得出下面公式：
Z=[N/5]+[N/52 ]+[N/53 ]+….(總存在一個K，使得5k >N,[N/5k ]=0)
公式中，[N/5]表示不大於N的數中5的倍數貢獻一個5，[N/52 ]表示不大於N的數中52 的倍數再貢獻一個5…。
代碼實現：

#include <iostream>
using namespace std;
int findZero(int N)
{
   int ret=0;
   while(N)
   {
      //計算1,2,3...k能被當前5的指數倍數整除個數
      ret+=N/5;
      //累計5的指數
      N/=5;
   }
   return ret;
}

對於問題二，確實不好想到那方面去，我們都知道在計算機二進制裏，有一個規律，那就是如果一個數是偶數，那麼該數的最後一個二進制必定是0，如果是奇數，那麼該數的最後一個二進制必定是1，這裏作者根據這樣的規律給了兩種解法。
解法一：
判斷最後一個二進制位是否爲0，若爲0，則將此二進制數右移一位，即爲商值；反之，若爲1，則說明這個二進制數是奇數，無法被2整除。
所以，這個問題實際上等同於求N！含有質因數2的個數。即答案等於N！含有質因數2的個數加1。
代碼實現：

#include <iostream>
using namespace std;
int lowestOne(int N)
{
   int ret=0;
   //統計被2整除的個數
   while(N)
   {
      N>>=1;
      ret+=N;
   }
   return ++ret;
}

解法二：
N！含有質因數2的個數，還等於N減去N的二進制表示中1的數目。我們還可以通過這個規律來求解。
下面對這個規律進行舉例說明，假設 N = 11011，那麼N!中含有質因數2的個數爲 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二進制表示中1的個數
代碼實現：

#include <iostream>
using namespace std;
int lowestOne(int N)
{
   int ret=0;
   int temp=N;
   //統計被2整除的個數
   while(temp)
   {
      ret+=temp&1;
      temp>>=1;
   }
   ret=N-ret;
   return ++ret;
}