3D幾何處理 | 點雲補洞算法+代碼分享

導讀 : 今天介紹的是2017年發表在the virtual computer上的點雲補洞算法，針對點雲的補全和補洞算法是比較少見的，大多數算法都只是針對網格的補洞。而針對點雲的補洞在三維重建中能夠很有效的應用，特別是如泊松重建中因遮擋導致的點雲稀疏或缺失的區域，但點雲補洞能夠很有效的解決該區域的重建問題。點雲補洞本質上是個病態問題，所有的補洞方式只能根據洞周圍點的特徵來補全，但在幾何結構相對簡單區域，點雲補洞能有很好的表現。

算法論文地址：yanqingan.github.io/docs/tvc16_shape.pdf
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摘要

這篇文章提出了一種全新的點雲補洞方法，能夠在平滑和尖銳的地方都有較好的補洞表現，該方法模仿物理上的擴散模型，將一次洞的邊緣收縮分解爲法向傳播和頂點位置傳播，並根據其相應的約束來保持其平滑或尖銳的特性。通過迭代上述過程直到沒有新的邊緣生成，即完成點雲補全。

1.簡介

點雲模型在過去20多年中有很廣泛的應用。直到現在，儘管掃描儀等獲取設備的性能有很大的提升，但是或多或少在其掃描的模型上存在有不同的空洞區域。此外，因爲物體表面磨損和損壞，也會形成空洞區域。針對點雲補洞這個病態問題，現有的大部分工作基於網格步面片的方式。而直接在點雲上補洞的相對較少，而且大多隻能生成平滑的補洞結果。本文模仿物理中能量擴散的方式進行點雲補全，能夠有效的生成平滑和尖銳的補洞結果，如下圖1所示：

2.算法

本文將洞邊緣收縮主要分爲兩步：

法向傳播：用於控制填充點的方向和恢復的表面的形狀。
位置傳播：在一次邊緣收束中生成新的邊界點。

這兩個步驟在補洞算法中交替執行，且能夠相互優化。這種交替傳播方式能夠將法相約束插入到法向傳播步驟中，以恢復空洞的尖銳特徵。

2.1 算法總覽

給定帶法向的點雲作爲輸入，本文算法首先對輸入點雲進行預處理去噪，然後提取空洞的邊界點，並通過迭代傳播的方式縮小空洞區域，直到沒有新點生成。

2.2 預處理

爲了得到有效的洞的邊界，本文采用了二階段的處理去噪，同時對點雲位置和其法向進行雙邊濾波 [1]操作，從而獲得去噪的後的帶法向的點雲。

2.3 洞邊界確定

本文采用分而治之的策略進行邊界提取，首先在邊界上手動順序選擇少量特徵點$f_i’ $其中$ (i = 1,…,m) $，將這些點輸入邊界點集合中$ B’$中。因此任意兩相鄰點間可以看作時局部線性的。

對於相鄰點 $f_i' f_{i+1}'$ 構成的線段，計算其中點 $M$ ，並選擇距離最近的邊界上的點 $b_m'$ ，如果該點是新的點，則將該店插入到點集中 $f_i'$ 和 $f_{i+1}'$ 之間。通過迭代直到所有相鄰點間距離小於閾值，則獲得最終的邊界點集，以此作爲空洞邊界。

2.4 法向傳播

爲了計算收縮後的空洞邊界，本文在採樣的邊界點集上構建法向傳播。新填充的點 $b_i$ 的法向計算方式爲：

$N_r(b_i)$ 表示 $b_i$ 附近半徑爲r以內的鄰近點。 $g1$ 和 $g2$ 分別是標準差爲 $\sigma_d$ 和 $\sigma_n$ 的高斯權重。 $n_i'$ 爲距離 $bi$ 最近的上一輪邊界上的點的法向。

2.5 頂點位置採樣

以傳播的法向作爲指導，一輪邊界收束的採樣點需滿足兩個目標：

新生成的邊界與周圍區域的表面相匹配
新填充的點應該保持合理的分佈，保持連續實際的收縮，使得空洞區域變小

爲此，文章定義 $E1$ 用來度量填充點和周圍表面的差異。同時引入彈力來填充點的位置，一個好的候選點應該在受力平衡點附近且受到最小的合力 $E2$ 。結合兩者，建立了以此邊界收縮的目標函數：

3. 生成新的孔洞邊界

雖然上述算法給除了頂點採樣的目標函數，但是直接求解是非常困難的，因爲空間中有無數的位置能滿足該函數最小化。因此文章提出了間接的採樣方法。

首先，通過上一輪生成的邊界點，生成新的邊界點的控制曲線。在控制曲線約束下，本輪採樣變爲沿着控制曲線的1-D採樣。採樣到的新的頂點是目標函數（3）的近似解。

然後，對每個採樣點根據其鄰域和（1）中計算的法向進行位置優化，直到收斂。

3.1 計算洞邊緣控制曲線

定義彈力：文章利用高斯函數來對彈力進行仿真並控制鄰近點間距離的權重。 $O_{bi}'$ 表示新的候選點 $bi$ 沿着上一輪邊界點 $b_i'$ 沿着該點傳播方向的平衡點，在 $O_{bi}'$ 位置受到的鄰域其他點的彈力如下式（4）：

其中 $O_q$ 是鄰近點 $q$ 沿着 $\vec{qO_{bi}''}$ 的平衡點，如圖Fig.3所示。

事實上，一旦給定鄰域點 $q$ ，則從點 $q$ 受到的彈力僅與 $O_{bi}'$ 到 $O_q$ 的符號距離有關,其正向爲斥力，負向爲引力，因而可簡化爲式 (5)，而平衡點的計算公式爲式 (6)

邊界控制曲線： 邊界控制曲線有上一輪生成的邊界點計算得到的平衡位置得到。對於邊界點 $b_i'$ 其收縮方向爲該點法向與邊界方向的叉乘。從而根據式（5）（6）可計算出所有新的平衡點以及該點收到的彈力，並刪除受到鄰域斥力的平衡點，剩下的作爲新一輪的邊界曲線採樣點。

3.2 位置優化

爲保證生成的採樣點與局部表面形狀匹配，本文提出了位置優化方法，如式（7）

所有的邊界點受到鄰域點的沿着其法向的引力作用，到新的平衡點，其中 $g_1$ 和 $g_2$ 是和式（1）類似的高斯權重，則優化後的頂點位置爲：

注意到位置優化後的點的法向與表面不匹配，而重新計算後的法向也會導致優化位置的偏離。因此，理論上可進行交替優化的方式，使之達到收斂。而在實際上收斂速度會比較快，因而採用兩輪交替優化即可。

3.4 保持特徵一致

在尖銳的洞區域，採用上述方法容易因其區域交疊的問題，如Fig.7所示，可通過設置相應的閾值，在出現位置偏移反向的時候，將其進行剔除，即可剔除該區域多餘的頂點。

算法結果

文章在不同的模型上進行了測試，如圖Fig.1 所示，不同半徑的鄰域取值對補洞表面的收斂速度不同。FIg.8 則展示了不同的同算法相對本文算法的補洞結果。本文算法在尖銳和平滑區域都有很好的表現。

特別是在泊松重建之前，本文算法通過提前對點雲進行空洞填充，再進行播送重建後能夠很好的降低模型空洞粘連的問題，提高模型質量。