錯排原理如下：
當n個編號元素放在n個編號位置,元素編號與位置編號各不對應的方法數用M(n)表示,那麼M(n-1)就表示n-1個編號元素放在n-1個編號位置,各不對應的方法數,其它類推.
第一步,把第n個元素放在一個位置,比如位置k,一共有n-1種方法;
第二步,放編號爲k的元素,這時有兩種情況.1,把它放到位置n,那麼,對於剩下的n-2個元素,就有M(n-2)種方法;2,不把它放到位置n,這時,對於這n-1個元素,有M(n-1)種方法;
綜上得到
M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]
特殊地，M(1)=0,M(2)=1
下面通過這個遞推關係推導通項公式:
爲方便起見，設M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)
則N(1)=0,N(2)=1/2
n>=3時,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)
即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)
於是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!
因此
N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!
N(2)-N(1)=(-1)^2/2!
相加，可得
N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!
因此
M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]
可以得到
錯排公式爲M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)
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