【校內模擬】矩陣求和（組合數轉下降冪轉自然冪）（斯特林數）（樹狀數組）

簡要題意：

一個 $n\times m$ 矩陣，第 $i$ 行第 $j$ 列的權值爲 $(i-1)\cdot m + j$，需要你支持一下三種操作：

1. R，交換兩行
2. C，交換兩列
3. Q，詢問對一個子矩陣求 $k$ 次二維前綴和後矩陣中元素之和。

數據範圍$n,m,Q\leq 1e5,k\leq 10$

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題解：

容易發現一個點的權值只和行號和列號有關，容易想到行列分開維護。

詢問的子矩形用$(lx,ly)-(rx,ry)$表示。

樸素一點考慮求出來的前綴和，考慮每個位置被求了多少次，可以表示爲：

$Ans=\sum_{i=lx}^{rx}\sum_{j=ly}^{ry}{k+rx-i\choose k}{k+ry-j\choose k}(a_i+b_j)$

其中 $a_i$ 和 $b_j$ 表示的是行列分別對這個格子權值的貢獻。

顯然拆開是兩個一樣形式的式子：

$\begin{aligned} Ans&={k+ry-ly+1\choose k+1}\sum_{i=lx}^{rx}{k+rx-i\choose k}a_i\\ &+{k+rx-lx+1\choose k+1}\sum_{i=ly}^{ry}{k+ry-i\choose k}b_i \end{aligned}$

考慮如維護上面$a_i$，$b_i$同理處理即可。

其實這個還挺顯然的，底標不變的組合數，強行轉成下降冪之後用帶符號第一類斯特林數轉成自然冪，再進行一次二項式展開即可。

先轉成下降冪，即考慮求：

$\frac{1}{k!}\sum_{i=lx}^{rx}(k+rx-i)^{\underline k}a_i$

用帶符號第一類斯特林數轉成自然冪：

$\begin{aligned} Ans=&\sum_{i=lx}^{rx}a_i\sum_{t=0}^ks_{k,t}(k+rx-i)^t\\ =&\sum_{i=lx}^{rx}a_i\sum_{t=0}^k s_{k,t}\sum_{l=0}^t(-i)^l(rx+k)^{t-l}{t\choose l}\\ =&\sum_{l=0}^k\left(\sum_{i=lx}^{rx}a_i(-i)^l\right)\sum_{t=l}^ks_{k,t}{t\choose l}(rx+k)^{t-l} \end{aligned}$

於是隨便用一個數據結構對於每個 $l$ 維護 $\sum\limits_{i=lx}^{rx}a_i(-i)^l$ 即可。

後面那一坨可以每次詢問 $O(k^2)$ 預處理，然後枚舉 $l$ 在數據結構裏面查詢即可

這樣單次修改複雜度爲 $O(k\log n)$，單次詢問複雜度爲 $O(k^2+k\log n)$

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

namespace IO{
	inline char gc(){
		static cs int Rlen=1<<22|1;static char buf[Rlen],*p1,*p2;
		return (p1==p2)&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,Rlen,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
	}template<typename T>T get_integer(){
		char c;while(!isdigit(c=gc()));T x=c^48;
		while(isdigit(c=gc()))x=x*10+(c^48);return x;
	}inline int gi(){return get_integer<int>();}
	inline char ga(){char c;while(!isalpha(c=gc()));return c;}
	char obuf[3000006],*oh=obuf;
	template<typename T>void print(T a,char c=' '){
		static char ch[23];int tl=0;
		do ch[++tl]=a%10; while(a/=10);
		while(tl)*oh++=ch[tl--]^48;*oh++=c;
	}struct obuf_flusher{~obuf_flusher(){fwrite(obuf,1,oh-obuf,stdout);}}Flusher;
}using namespace IO;

using std::cerr;
using std::cout;

cs int mod=1e9+7;
inline int add(int a,int b){return a+b>=mod?a+b-mod:a+b;}
inline int dec(int a,int b){return a-b<0?a-b+mod:a-b;}
inline int mul(int a,int b){ll r=(ll)a*b;return r>=mod?r%mod:r;}
inline void Inc(int &a,int b){a+=b-mod;a+=a>>31&mod;}
inline void Dec(int &a,int b){a-=b;a+=a>>31&mod;}
inline void Mul(int &a,int b){a=mul(a,b);}
inline int po(int a,int b){int r=1;for(;b;b>>=1,Mul(a,a))if(b&1)Mul(r,a);return r;}
inline void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1,y=0;return;}ex_gcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}inline int inv(int a){int y,x;ex_gcd(mod,a,y,x);return x+(x>>31&mod);}

cs int N=1e5+17;

int n,m,Q;

int Vx[N],Vy[N];
struct BIT{
	int tr[N],n;
	inline void init(int *a,int n){
		this->n=n;memcpy(tr,a,sizeof(int)*(n+1));
		for(int re i=1;i<=n;++i)if(i+(i&-i)<=n)Inc(tr[i+(i&-i)],tr[i]);
	}
	inline void modify(int p,int vl){for(;p<=n;p+=p&-p)Inc(tr[p],vl);}
	inline int qy(int p)cs{int r=0;for(;p;p^=p&-p)Inc(r,tr[p]);return r;}
	inline int qy(int l,int r)cs{assert(1<=l&&l<=r&&r<=n);return dec(qy(r),qy(l-1));}
}Px[11],Py[11];

int fac[N],ifc[N];
int c[11][11],s[11][11];
inline int C(int n,int m){return n>=m&&m>=0?mul(fac[n],mul(ifc[n-m],ifc[m])):0;}
void init_math(){
	fac[0]=1;
	for(int re i=1;i<N;++i)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	ifc[N-1]=inv(fac[N-1]);
	for(int re i=N-1;i;--i)ifc[i-1]=mul(ifc[i],i);
	s[0][0]=c[0][0]=1;
	for(int re i=1;i<=10;++i){c[i][0]=1;
		for(int re j=1;j<=i;++j){
			c[i][j]=add(c[i-1][j],c[i-1][j-1]);
			s[i][j]=dec(s[i-1][j-1],mul(s[i-1][j],i-1));
		}
	}
}

int coef_x[11],coef_y[11];
void Qry(){
	int lx=gi(),ly=gi(),rx=gi(),ry=gi(),k=gi();
	assert(lx<=rx&&rx<=1e5&&ly<=ry&&ry<=1e5);
	for(int re l=0;l<=k;++l){
		int px=1,py=1;
		coef_x[l]=coef_y[l]=0;
		for(int re t=l;t<=k;++t){
			int coef=mul(s[k][t],c[t][l]);
			Inc(coef_x[l],mul(coef,px));
			Inc(coef_y[l],mul(coef,py));
			Mul(px,rx+k),Mul(py,ry+k);
		}
	}int vl_x=0,vl_y=0;
	for(int re l=0;l<=k;++l){
		Inc(vl_x,mul(Px[l].qy(lx,rx),coef_x[l]));
		Inc(vl_y,mul(Py[l].qy(ly,ry),coef_y[l]));
	}
	print(add(mul(mul(vl_x,ifc[k]),C(k+ry-ly+1,k+1))
			,mul(mul(vl_y,ifc[k]),C(k+rx-lx+1,k+1))),'\n');
}

void modify_x(){
	int u=gi(),v=gi();
	assert(u<=1e5&&v<=1e5);
	std::swap(Vx[u],Vx[v]);
	int vl_u=1,vl_v=1;
	for(int re i=0;i<=10;++i){
		Px[i].modify(u,mul(vl_u,dec(Vx[u],Vx[v])));
		Px[i].modify(v,mul(vl_v,dec(Vx[v],Vx[u])));
		Mul(vl_u,mod-u),Mul(vl_v,mod-v);
	}
}

void modify_y(){
	int u=gi(),v=gi();
	std::swap(Vy[u],Vy[v]);
	int vl_u=1,vl_v=1;
	for(int re i=0;i<=10;++i){
		Py[i].modify(u,mul(vl_u,dec(Vy[u],Vy[v])));
		Py[i].modify(v,mul(vl_v,dec(Vy[v],Vy[u])));
		Mul(vl_u,mod-u),Mul(vl_v,mod-v);
	}
}

void Main(){
	init_math();
	n=gi(),m=gi(),Q=gi();
	for(int re i=1;i<=n;++i)Vx[i]=mul(i-1,m);
	for(int re i=1;i<=m;++i)Vy[i]=i;
	for(int re k=0;k<=10;++k){
		Px[k].init(Vx,n);Py[k].init(Vy,m);
		for(int re i=1;i<=n;++i)Mul(Vx[i],mod-i);
		for(int re i=1;i<=m;++i)Mul(Vy[i],mod-i);
	}
	for(int re i=1;i<=n;++i)Vx[i]=mul(i-1,m);
	for(int re i=1;i<=m;++i)Vy[i]=i;
	while(Q--)switch(ga()){
		case 'R':modify_x();break;
		case 'C':modify_y();break;
		case 'Q':Qry();break;
	}
}

inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("matrix.in","r",stdin);
#endif
}
signed main(){file();Main();return 0;}