【校內模擬】數值修改（貪心）（DP）

簡要題意：

給一個十進制數，每次可以選擇它的一個數碼，然後它的值減去你選擇的這個數碼。

重複這個操作，直到這個數變成0，問最少需要多少次操作。

$x\leq 1e18$

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腦子卡住是什麼感覺。

就是發現了正解要用的性質，不知道爲什麼就是沒有繼續往下細想。

啊艹爲什麼

題解：

首先容易注意到答案是單調不減的。

要證明這一點可以歸納，考慮 $i$ 和 $i+1$ 假設之前的一直都是單調，容易注意到 $i+1$ 的最大數碼不可能比 $i$ 大超過 $1$，那麼顯然 $i+1$ 能夠到達的最小的數一定不會比 $i$ 小，而前面的數全部滿足單調性，所以 $i$ 和 $i+1$ 處滿足單調性。

於是非常顯然我們需要貪心減掉最大的數碼。

考慮模擬這個過程，可以拿到一部分分。

考慮 $x\leq 1e12$ 的部分分，不難發現，我們可以考慮一個後綴 $sf$，然後考慮前綴的最大數碼 $d$，我們預處理出來這種情況把後綴減到$\leq 0$ 需要的步數和減完之後的負數部分即可。

發現上述做法的負數部分絕對值是小於 $10$ 的，這意味着剩下的部分全部都是 $9$，考慮設 $dp[i][j][k]$ 表示個位爲 $j$ ，前面緊跟着 $i$ 個 $9$ ，除此以外的前綴的最大數碼爲 $k$，將該後綴減到小於 $0$ 需要的最少步數，同時設 $nx[i][j][k]$ 表示操作完之後的個位是什麼。

預處理，然後xjb轉移即可。

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代碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define re register
#define cs const

using std::cerr;
using std::cout;

ll pw[20],ans,x;
int md[107];
ll dp[20][10][10];
int nx[20][10][10];
inline int mxd(ll x){
	int d=0;
	while(x){
		d=std::max(d,md[x%pw[2]]);
		x/=pw[2];
	}return d;
}

inline int get(int i){
	return x/pw[i]%10;
}

void Main(){
	for(int re i=pw[0]=1;i<=18;++i)
		pw[i]=pw[i-1]*10;
	for(int re i=1;i<=1e2;++i)
		md[i]=std::max(md[i/10],i%10);
	for(int re j=0;j<10;++j)
		for(int re k=0;k<10;++k)
			if(j<k){
				dp[0][j][k]=1;
				nx[0][j][k]=10+j-k;
			}else {
				dp[0][j][k]=2;
				nx[0][j][k]=10-k;
			}
	for(int re i=1;i<=18;++i)
		for(int re j=0;j<10;++j)
			for(int k=0;k<10;++k){
				nx[i][j][k]=j;
				for(int nw=9;nw>=0;--nw){
					dp[i][j][k]+=dp[i-1][nx[i][j][k]][std::max(k,nw)];
					nx[i][j][k]=nx[i-1][nx[i][j][k]][std::max(k,nw)];
				}
			}
	std::cin>>x;
	for(int re i=1;i<=18&&pw[i]<=x;++i)
		while(get(i)!=9){
			int d=mxd(x/pw[i]);if(!d)break;
			int t=x%10;
			ans+=dp[i-1][t][d];
			x-=t-nx[i-1][t][d];
			x-=pw[i];
		}
	for(int re i=18;i;--i)
		while(get(i)){
			int d=get(i),t=x%10;
			ans+=dp[i-1][t][d];
			x-=t-nx[i-1][t][d];
			x-=pw[i];
		}
	if(x)++ans;cout<<ans<<"\n";
}


inline void file(){
#ifdef zxyoi
	freopen("number.in","r",stdin);
#else
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("number.in","r",stdin);
	freopen("number.out","w",stdout);
#endif
#endif
}signed main(){file();Main();return 0;}