本章主要是對Gretton et al.文獻的一個理解，僅供大家參考！如有疑問可以下方討論留言。
希爾伯特-施密特獨立性準則（Hilbert-Schmidt Independence Criterion-HSIC）主要目的是衡量兩個變量的一個分佈差異，這一點類似於協方差（方差），而對於其本身也是依賴於協方差而構建。如下公式（1）所示
（1）
其中Z(v)和Z(w)分別表示兩個不同的視角數據集。每一個視角數據集都包含有n個樣本數據點，其中可定義爲
其中
表示Z(v)和Z(w)的概率分佈。範數||*||HS的定義如下：
其中F和G分別表示X和Y的再生核Hilbert空間。核函數的理解是比較抽象，也有點晦澀難懂（重點是在於核函數的選取），大家有興趣可以參考一篇博客https://blog.csdn.net/kateyabc/article/details/79980880，在這裏我們直接對其理解爲非線性數據的處理，使得儘可能的表現出潛在的語義空間信息，有利於傳統的方法對其進行研究。
敲黑板！！！重點來啦！
對於公式（1）中的Cz(v)z(w)則是變量Z(v)和Z(w)的協方差，具體的定義如公式（2）所示
（2）
在公式（2）中uz(v)與uz(w)分別表示
的期望，
表示爲張量積，分別表示關於變量Z(v)和Z(w)在空間的（X,Y）中的核函數，在本文中的核函數定義爲
同理可得
其中<*，*>表示兩個變量的內積（內積與跡函數的關係將會在後面進行推導）。總結而言，最終我們可以得到關於HSIC的定義表達式爲（詳細推導過程可參考文獻Gretton et al., 2005）：
在這裏Kv和Kw表示爲Gram矩陣。H(ij)=deta(ij)-1/n表示均值爲零的一個矩陣，deta
內積與跡函數的關係
<A,B>=<vec(A),Vec(B)>=sum(a(i)^H*b(i))=sum<a(i),b(i)>=Vec(A)^H*Vec(B)=Tr(A^H*B)
其中A=[a1,a2,...,an],Vec(A)=[a1;a2;...;an]表示張量。
參考文獻[Gretton et al., 2005] Arthur Gretton, Olivier Bousquet, Alex Smola,and Bernhard Scholkopf. Measuring statistical dependence with hilbert-schmidt norms. In ALT, volume 16, pages 63–78.Springer, 2005.
