本文會涉及到一些和直方圖均衡相關的公式推導以及編程實現，這部分內容在這以下這篇博文中已經詳細說明過了：
【圖像處理筆記】正方圖均衡 http://blog.csdn.net/u013162930/article/details/48087527
直方圖均衡化，可以無需參數，自動尋找變換函數，從而自動的的增強整個圖像的對比度，簡單易行便於實現，結果可預知，但是增強的效果不受控制，處理的結果總是得到全局均衡化的直方圖。
而實際上呢，有時候，我們需要變換直方圖，使之成爲某個特定的形狀，從而有選擇的增強某個灰度範圍內的對比度。這時，就可以採用本文介紹的這種，比較靈活的直方圖匹配（直方圖規定劃）。
現在，我們暫時回到連續灰度r 和z （看成是連續的隨機變量）並且Pr（r）和Pz（z）表示它們所對應的連續概率密度函數。在這種表示方法中，r 和z 分別代表輸入圖像和輸出圖像的灰度級。我們可以由給定的輸入圖像估計出Pr（r），而Pz（z）是我們希望輸出圖像所具有的指定概率密度函數。
令S爲一個有着如下特性的隨機變量：
w爲積分假變量。上式是直方圖均衡的連續形式。
接着我們定義一個有如下特性的隨機變量Z：
其中，t爲積分假變量。
由以上兩個等式可知，G（z） = T（r），因此，z也必須滿足以下的條件
一旦由輸入圖像估計出Pr（r），變換函數T（r）就可以由
類似地，因爲Pz（z）已知，變換函數G（z）可由
上面的證明過程表明，按照上面的步驟，可由一幅給定圖像得到一幅其灰度級具有給定概率密度函數的圖像。
直方圖規定化，在原理上並不複雜，但是有一個困難是尋找T（r）和G-1的有意義的表達式。
幸運的是，在處理離散量時，問題可以被大大的簡化。處理離散量時，僅希望得到一個近似的直方圖，所以付出的代價與直方圖均衡一樣。不去考慮這些代價的話，我們可以得到一些非常有用的結果，儘管是粗糙近似的。
離散形式的直方圖均衡如下
MN是圖像的像素總數，
nj是灰度值rj 的像素的個數。
類似地，給定一個規定的Sk值
對於一個q值，有G（Zq） = Sk
其中，Pz（Zi）是規定的直方圖的第i個值。
與前面一樣，我們用反變換找到期望的值Zq：
換句話說，該操作對每個S給出一個Z值，這樣，就形成了從S到Z的一個映射。
我們可以總結直方圖規定化的變換過程如下：
①計算給定圖像的值反圖Pr（r），並對他進行直方圖均衡變換。把Sk的結果四捨五入爲[0，L - 1]內的整數，並存入一個表中。
②用
③對於每一個值Sk，使用②存儲的值尋找相應的Zq值，使G（Zq）最接近Sk，並存儲這些從S到Z的映射。
下面是我用vb實現的直方圖規定化：
首先對比一下原圖與直方圖均衡化後的結果。
原圖 直方圖均衡化後的結果
分析：
直方圖均衡化後的圖像對比度明顯增加了，但是邊角部分陰影加重了。
因此想降低這部分PDF的斜率，或許可以增加圖片的質量。
紅色部分是我想規定的變換後的PDF。
Pz（Z）我假定爲以下的分段函數
{
0.5 * Z + 60 , ( 0 , 80 ],
2.6 * Z - 108 , ( 80 , 140 ],
- 2.09 * Z + 547.6 , ( 140 , 255 ]
}
這一部分理解的不太到位，也不知道我假定的PDF是否可以改善圖像。以後對這部分有更深的理解的時候再來補充~
歡迎留言指教~
'直方圖規定化
'先對圖像進行直方圖均衡
Dim img As New Image(Of Gray, Byte)("C:\圖像處理實驗\test1.bmp")
Dim height As Integer = img.Height
Dim width As Integer = img.Width
'統計每級灰度的像素個數
Dim pixelCounts(255) As Integer
For i = 0 To height - 1
For j = 0 To width - 1
pixelCounts(img.Data(i, j, 0)) = pixelCounts(img.Data(i, j, 0)) + 1
Next
Next
'統計每級灰度的累計像素個數
Dim pixelAccumulative(255) As Integer
For i = 0 To 255
For j = 0 To i
pixelAccumulative(i) = pixelAccumulative(i) + pixelCounts(j)
Next
Next
'根據像素的灰度值映射到新的灰度值
For i = 0 To height - 1
For j = 0 To width - 1
img.Data(i, j, 0) = (256 - 1) / (width * height) * pixelAccumulative(img.Data(i, j, 0))
Next
Next
For i = 0 To 255
pixelAccumulative(i) = (256 - 1) / (width * height) * pixelAccumulative(i)
Next
'計算變換函數的PDF
'Pz(Z) = {
'0.5 * Z + 60 , ( 0 , 80 ],
'2.6 * Z - 108 , ( 80 , 140 ],
'- 2.09 * Z + 547.6 , ( 140 , 255 ]
'}
For i = 0 To 255
If i <= 80 Then
pixelPz(i) = 0.5 * i + 60
ElseIf i <= 140 Then
pixelPz(i) = 2.6 * i - 108
Else
pixelPz(i) = -2.09 * i + 547.6
End If
Next
Dim sumPz As Double = 0
For i = 0 To 255
sumPz = sumPz + pixelPz(i)
Next
For i = 0 To 255
pixelPz(i) = pixelPz(i) / sumPz
Next
'計算G
Dim pixelG(255) As Integer
For i = 0 To 255
For j = 0 To i
pixelG(i) = pixelG(i) + pixelPz(j) * (256 - 1)
Next
Next
'映射
Dim pixelSkZq(255) As Integer
For i = 0 To 255
Dim Sk = pixelAccumulative(i)
Dim flage As Boolean = False
For j = 0 To 255
If pixelG(j) = Sk Then
pixelSkZq(i) = j
flage = True
Exit For
End If
Next
If flage = False Then
For j = 0 To 255
If j = 255 Then
pixelSkZq(i) = j
Exit For
End If
If pixelG(j) < Sk And pixelG(j + 1) > Sk Then
pixelSkZq(i) = j
flage = True
Exit For
End If
Next
End If
Next
'根據像素的灰度值映射到新的灰度值
For i = 0 To height - 1
For j = 0 To width - 1
img.Data(i, j, 0) = pixelSkZq(img.Data(i, j, 0))
Next
Next
img.Save("C:\圖像處理實驗\直方圖匹配\test_result.bmp")以下是直方圖匹配的結果與直方圖均衡的結果比較
從結果上來看，實驗失敗了。圖片的效果並沒有增強。
我分析的原因可能是指定的灰度值密度變換函數並不恰當，並不能有效的改善圖像。但也有可能是我對直方圖匹配理解有誤導致的算法的錯誤。有想法的同學歡迎留言指教。
直方圖規定化，大多數時候，都是試湊的過程。
一般來說，並沒有規定直方圖的規則，對於任何一個給定的增強任務，都必須藉助於實際分析。