最优二叉树（赫夫曼树、赫夫曼树和赫夫曼编码的存储结构）

最优二叉树是带权路径长度最短的二叉树。根据结点的个数、权值的不同，最优二叉
树的形状也各不相同。图634 是3 棵最优二叉树的例子。它们的共同特点是：带权值的
结点都是叶子结点。权值越小的结点，其到根结点的路径越长。构造最优二叉树的方法
如下：
(1) 将每个带有权值的结点作为一棵仅有根结点的二叉树，树的权值为结点的权值；
(2) 将其中两棵权值最小的树组成一棵新二叉树，新树的权值为两棵树的权值之和；

(3) 重复(2)，直到所有结点都在一棵二叉树上。这棵二叉树就是最优二叉树。

最优二叉树的左右子树是可以互换的，因为这不影响树的带权路径长度。当结点的权
值差别大到一定程度，最优二叉树就形成了如图634(b)所示的“一边倒”的形状。有些
书称最优二叉树都是这种“一边倒”的形状是不对的。这通过计算二叉树的带权路径长度
是否最短就可看出。当所有结点的权值一样，或其权值差别很小，最优二叉树就形成了如
图634(c)所示的完全二叉树的形状。叶子结点的路径长度近似相等。
最优二叉树除了叶子结点就是度为2 的结点，没有度为1 的结点。这样才使得树的带
权路径长度最短。根据二叉树的性质3，最优二叉树的结点数为叶子数的2 倍减1。

// c6-7.h 赫夫曼树和赫夫曼编码的存储结构(见图6.35)
typedef struct
{
	unsigned int weight;
	unsigned int parent,lchild,rchild;
}HTNode,*HuffmanTree; // 动态分配数组存储赫夫曼树
typedef char **HuffmanCode; // 动态分配数组存储赫夫曼编码表

c6-7.h 定义的二叉树结构是我们在前边没有讨论过的，但它特别适合建立赫夫曼树。
赫夫曼树是由多棵二叉树(森林)组合成而的一棵树。这种二叉树结构既适合表示树，也适
合表示森林。赫夫曼树结点的结构包括权值、双亲及左右孩子，双亲值为0 的是根结点，
左右孩子值均为0 的是叶子结点。这种二叉树结构是动态生成的顺序结构。当叶子结点数
确定，赫夫曼树的结点数也确定。由图636(d)可见，建成的赫夫曼树除0 号结点空间不
用外，每个结点空间都没空置。

// func6-1.cpp 程序 algo6-1.cpp和algo6-2.cpp要调用
int min(HuffmanTree t,int i)
{ // 返回i个结点中权值最小的树的根结点序号，函数select()调用
	int j,flag;
	unsigned int k=UINT_MAX; // 取k为不小于可能的值(无符号整型最大值)
	for(j=1;j<=i;j++)
		if(t[j].weight<k&&t[j].parent==0) // t[j]是树的根结点
			k=t[j].weight,flag=j;
		t[flag].parent=1; // 给选中的根结点的双亲赋1，避免第2次查找该结点
		return flag;
}
void select(HuffmanTree t,int i,int &s1,int &s2)
{ // 在i个结点中选择2个权值最小的树的根结点序号，s1为其中序号小的那个
	int j;
	s1=min(t,i);
	s2=min(t,i);
	if(s1>s2)
	{
		j=s1;
		s1=s2;
		s2=j;
	}
}

// algo6-1.cpp 求赫夫曼编码。实现算法6.12的程序
#include"c1.h"
#include"c6-7.h"
#include"func6-1.cpp"
void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT,HuffmanCode &HC,int *w,int n) // 算法6.12
{ // w存放n个字符的权值(均>0)，构造赫夫曼树HT，并求出n个字符的赫夫曼编码HC
	int m,i,s1,s2,start;
	unsigned c,f;
	HuffmanTree p;
	char *cd;
	if(n<=1)
		return;
	m=2*n-1;
	HT=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); // 0号单元未用
	for(p=HT+1,i=1;i<=n;++i,++p,++w)
	{
		(*p).weight=*w;
		(*p).parent=0;
		(*p).lchild=0;
		(*p).rchild=0;
	}
	for(;i<=m;++i,++p)
		(*p).parent=0;
	for(i=n+1;i<=m;++i) // 建赫夫曼树
	{ // 在HT[1～i-1]中选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为s1和s2
		select(HT,i-1,s1,s2);
		HT[s1].parent=HT[s2].parent=i;
		HT[i].lchild=s1;
		HT[i].rchild=s2;
		HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;
	}
	// 从叶子到根逆向求每个字符的赫夫曼编码
	HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*));
	// 分配n个字符编码的头指针向量([0]不用)
	cd=(char*)malloc(n*sizeof(char)); // 分配求编码的工作空间
	cd[n-1]='\0'; // 编码结束符
	for(i=1;i<=n;i++)
	{ // 逐个字符求赫夫曼编码
		start=n-1; // 编码结束符位置
		for(c=i,f=HT[i].parent;f!=0;c=f,f=HT[f].parent)
			// 从叶子到根逆向求编码
			if(HT[f].lchild==c)
				cd[--start]='0';
			else
				cd[--start]='1';
			HC[i]=(char*)malloc((n-start)*sizeof(char));
			// 为第i个字符编码分配空间
			strcpy(HC[i],&cd[start]); // 从cd复制编码(串)到HC
	}
	free(cd); // 释放工作空间
}
void main()
{
	HuffmanTree HT;
	HuffmanCode HC;
	int *w,n,i;
	printf("请输入权值的个数(>1): ");
	scanf("%d",&n);
	w=(int*)malloc(n*sizeof(int));
	printf("请依次输入%d个权值(整型):\n",n);
	for(i=0;i<=n-1;i++)
		scanf("%d",w+i);
	HuffmanCoding(HT,HC,w,n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		puts(HC[i]);
}

代码的运行结果（以教科书图6.24 为例，如图636 所示）：

请输入权值的个数(>1): 4
请依次输入4个权值(整型):
7 5 2 4
0
10
110
111

图636 是运行过程的图解。初始状态下(见图636(b))，权值分别为7、5、2、4
的4 个结点是4 棵独立的树(根结点)。它们没有双亲，也没有左右孩子。反复查找权值最
小的两棵树，并把它们合并成一棵树，其权值为两树的权值之和。最后，所有结点合并成
一棵赫夫曼树(见图636(d))。
算法6.12(在algo6-1.cpp 中)在找到两个无双亲且权值最小的结点后，将序号小的结
点作为左子树，序号大的结点作为右子树，如果不按这个规则，赫夫曼编码的形式会改
变。但码长不会改变，仍然是赫夫曼编码。

// algo6-2.cpp 实现算法6.13的程序
#include"c1.h"
#include"c6-7.h"
#include"func6-1.cpp"
void HuffmanCoding(HuffmanTree &HT,HuffmanCode &HC,int *w,int n) // 前半部分为算法6.12
{ // w存放n个字符的权值(均>0)，构造赫夫曼树HT，并求出n个字符的赫夫曼编码HC
	int m,i,s1,s2; // 此句与algo6-1.cpp不同
	unsigned c,cdlen; // 此句与algo6-1.cpp不同
	HuffmanTree p;
	char *cd;
	if(n<=1)
		return;
	m=2*n-1;
	HT=(HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode)); // 0号单元未用
	for(p=HT+1,i=1;i<=n;++i,++p,++w)
	{
		(*p).weight=*w;
		(*p).parent=0;
		(*p).lchild=0;
		(*p).rchild=0;
	}
	for(;i<=m;++i,++p)
		(*p).parent=0;
	for(i=n+1;i<=m;++i) // 建赫夫曼树
	{ // 在HT[1～i-1]中选择parent为0且weight最小的两个结点，其序号分别为s1和s2
		select(HT,i-1,s1,s2);
		HT[s1].parent=HT[s2].parent=i;
		HT[i].lchild=s1;
		HT[i].rchild=s2;
		HT[i].weight=HT[s1].weight+HT[s2].weight;
	}
	// 以下为算法6.13，无栈非递归遍历赫夫曼树，求赫夫曼编码，以上同算法6.12
	HC=(HuffmanCode)malloc((n+1)*sizeof(char*));
	// 分配n个字符编码的头指针向量([0]不用)
	cd=(char*)malloc(n*sizeof(char)); // 分配求编码的工作空间
	c=m;
	cdlen=0;
	for(i=1;i<=m;++i)
		HT[i].weight=0; // 遍历赫夫曼树时用作结点状态标志
	while(c)
	{
		if(HT[c].weight==0)
		{ // 向左
			HT[c].weight=1;
			if(HT[c].lchild!=0)
			{
				c=HT[c].lchild;
				cd[cdlen++]='0';
			}
			else if(HT[c].rchild==0)
			{ // 登记叶子结点的字符的编码
				HC[c]=(char *)malloc((cdlen+1)*sizeof(char));
				cd[cdlen]='\0';
				strcpy(HC[c],cd); // 复制编码(串)
			}
		}
		else if(HT[c].weight==1)
		{ // 向右
			HT[c].weight=2;
			if(HT[c].rchild!=0)
			{
				c=HT[c].rchild;
				cd[cdlen++]='1';
			}
		}
		else
		{ // HT[c].weight==2，退回
			HT[c].weight=0;
			c=HT[c].parent;
			--cdlen; // 退到父结点，编码长度减1
		}
	}
	free(cd);
}
void main()
{ // 主程序同algo6-1.cpp
	HuffmanTree HT;
	HuffmanCode HC;
	int *w,n,i;
	printf("请输入权值的个数(>1): ");
	scanf("%d",&n);
	w=(int *)malloc(n*sizeof(int));
	printf("请依次输入%d个权值(整型):\n",n);
	for(i=0;i<=n-1;i++)
		scanf("%d",w+i);
	HuffmanCoding(HT,HC,w,n);
	for(i=1;i<=n;i++)
		puts(HC[i]);
}

代码的运行结果（以教科书例62 为例）：

请输入权值的个数(>1): 8
请依次输入8个权值(整型):
5 29 7 8 14 23 3 11
0110
10
1110
1111
110
00
0111
010