【模板】ST表求解RMQ問題

RMQ$RMQ$ 問題

RMQ（Range Minimum Query）$RMQ（RangeMinimumQuery）$ ，範圍最小值問題。具體表現爲一下一類問題：

給出一個 n$n$ 個元素的數組 A1,A2,…,An$A_1,A_2,\dots ,A_n$ ，求解 min(l,r)$min(l,r)$ : 計算 min$min$ {Al,Al+1,…,Ar$A_l,A_{l+1},\dots ,A_r$ }

RMQ$RMQ$ 問題有很多解法，其中較爲快捷和簡便的是 Tarjan$Tarjan$ 的 Sparse−Table$Sparse-Table$ 算法，簡稱 ST$ST$ 表。

Sparse−Table$Sparse-Table$ 算法基於倍增思想，整個算法由預處理和查詢兩部分組成，分別描述一下：

• 預處理

  我們令 d(i,j)$d(i,j)$ 爲從 i$i$ 開始的， 長度爲 2j$2^j$ 的一段元素中的最小值。根據倍增思想，d(i,j)$d(i,j)$ 可以通過 d(i,j−1)$d(i,j-1)$ 和 d(i+2j−1,j−1)$d(i+2^{j-1},j-1)$ 轉移得到，具體操作就是對兩個數取 min$min$ 。

  沒有接觸過倍增思想的同學可能對這步表示有點難以理解，具體解釋一下：

  d(i,j)$d(i,j)$ 表示的是從 i$i$ 開始的長度爲 2j$2^j$ 的一段元素中的最小值，區間右端點是 i+2j−1$i+2^j-1$ 。

  d(i,j−1)$d(i,j-1)$ 表示的是從 i$i$ 開始的長度爲 2j−1$2^{j-1}$ 的一段元素中的最小值，區間右端點是 i+2j−1−1$i+2^{j-1}-1$ 。

  d(i+2j−1,j−1)$d(i+2^{j-1},j-1)$ 表示的是從 i+2j−1$i+2^{j-1}$ 開始的長度爲 2j−1$2^{j-1}$ 的一段元素中的最小值，區間右端點是 i+2j−1+2j−1−1=i+2j−1$i+2^{j-1}+2^{j-1}-1=i+2^j-1$ 。

  現在就明顯了，[i,i+2j−1]$[i,i+2^j-1]$ 這段區間被劃分成了了 [i,i+2j−1−1]$[i,i+2^{j-1}-1]$ 和 [i+2j−1,i+2j−1]$[i+2^{j-1},i+2^j-1]$ 兩段區間，不重不漏，所以這樣操作是可行的。

  預處理的時間複雜度是 O(nlog2n)$O(n{\log }_{2}n)$ 。

• 查詢

  有了剛纔對預處理的講述，查詢部分應該不難想到，我們令 k$k$ 爲滿足 2k≤R−L+1$2^k\le R-L+1$ 的最大整數。則可知 k=log2R−L+1$k={\log }_{2}R-L+1$ 。則以 L$L$ 開頭， 以 R$R$ 結尾的兩個長度爲 2k$2^k$ 的區間合併起來就覆蓋了 [L,R]$[L,R]$ 。由於是求範圍最小值，有元素被重複計算也沒問題。

  則 Query(L,R)=min(d(L,k),d(R−2k+1,k))$Query(L,R)=min(d(L,k),d(R-2^k+1,k))$ 。

  查詢的時間複雜度是 O(1)$O(1)$ 。

由此可見，Sparse−Table$Sparse-Table$ 算法思想簡單，好寫，是求解 RMQ$RMQ$ 問題的首選算法。

具體實現的時候還要注意一點，每次用 pow(2,x)$pow(2,x)$ 計算 2x$2^x$ 是非常浪費時間的。由於計算機內部使用的是二進制，我們可以用 (1<<x)$(1<<x)$ 表示 2x$2^x$ 。

Code$Code$

namespace RMQ {     
    void init(int n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) d[i][0] = a[i];
        for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
            for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
                d[i][j] = min(d[i][j - 1], d[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
    }
    int query(int l, int r) {
        int k = log2(r - l + 1);
        return min(d[l][k], d[r - (1 << k) + 1][k]);
    }
}