時間序列之差分自迴歸移動平均法（ARIMA）

        ARIMA模型的基本思想是將非平穩時間序列轉化爲平穩時間序列，然後將因變量僅對它的滯後值以及隨機誤差項的現值和滯後值進行迴歸所建立的模型。ARMIA模型有四種形式：移動平均模型-MA(q)、自迴歸模型-AR(p)、自迴歸移動平均模型ARMA(p,q)以及差分自迴歸移動平均模型ARIMA(p,d,q )，可以說所有模型都是ARIMA(p,d,q )的變體。

ARIMA(p,d,q)模型的說明：

1. 差分

這個過程是ARIMA模型相比ARMA模型而言多的一個過程，在時間序列爲非平穩序列時，可以對原序列做差分來得到平穩時間序列，可能會需要做多次差分。d這個參數就是定義原時間序列需要做幾次差分，若時間序列本身就是平穩的，數據不需要做差分，則ARMIA模型爲ARIMA(p,0,q)，等同於ARMA(p,q)。

2. 自迴歸

如果時間序列滿足：，其中是獨立同分布的隨機變量序列，對於任意t，，則稱時間序列服從p階自迴歸模型，記爲AR(p)，等同於ARIMA(p,0,0)。稱爲自迴歸係數。

3. 移動平均

如果時間序列滿足：，則稱時間序列服從q階移動平均模型，記爲MA(q)，等同於ARIMA(0,0,q)。稱爲移動平均係數。

4. 自迴歸移動平均

如果時間序列滿足：，則稱時間序列服從(p,q)階自迴歸移動模型，記爲ARMA(p,q)，等同於ARIMA(p,0,q)。

 

p,d,q參數的確定及其原則

1. d是時間序列做差分的次數，做差分的目的是將時間序列轉爲平穩時間序列，什麼樣的時間序列能稱爲平穩時間序列呢？時間序列取自某一隨機過程，次隨機過程的隨機特徵不隨時間變化，則我們稱過程是平穩的，這是教科書上的說法。我的理解是，時間序列滿足加性模型，即時間序列整體沒有明顯的上升或者下降趨勢，隨機波動的規模隨時間的變化也是大致相同的。

2. p和q,對平穩時間序列做其自相關圖和偏自相關圖，根據自相關偏自相關圖的拖尾截尾的性質來確定p和q的值。基本原則如下表：

模型	自相關係數	偏自相關係數
AR(p)	拖尾	p階截尾
MA(q)	q階截尾	拖尾
ARMA(p,q)	拖尾	拖尾

截尾是指時間序列的自相關函數（ACF）或偏自相關函數（PACF）在某階後均爲0的性質（比如AR的PACF）；拖尾是ACF或PACF並不在某階後均爲0的性質（比如AR的ACF）。判斷過程中拖尾截尾並不一定是以0爲標準，可能只是趨於0。

在一個實際的問題中，可能多個模型都適用與這個問題，這時選擇的標準是精簡預測，使參數儘量少。例如一個實際問題，可能ARMA(3,0)，ARMA(0,1)和ARMA(p,q)模型都能用，ARMA(p,q)模型參數p+q>2，ARMA(3,0)參數有3個，ARMA(0,1)參數有1個，所以這裏選擇ARMA(0,1)模型。

其他說明

這個模型的實現過程相對指數平滑來說更復雜，還加上了一些主觀的判斷（在模型的選擇中）。可能還涉及到白噪聲檢驗（在得到平穩時間序列後，要檢驗序列是否爲白噪聲序列）；還有在確定模型後有一個模型檢測的過程，對殘差序列進行檢驗。我這裏只是根據我自己的理解對模型的一個簡單介紹，不涉及具體的計算過程。

參考書：統計預測和決策（徐國祥編）。