暫寫一篇博客記錄下看的兩篇可視計算入門論文。《Poisson surface reconstruction》《Screened Poisson Surface Reconstruction》
1.泊松曲面重建簡介
激光掃描設備的發展使得被測物體更多細節的數據獲取成爲可能。根據採樣數據的模型重建，在許多實際應用中具有實際意義，如在汽車、航空等工業領域中, 複雜外形產品的設計仍需要根據手工模型, 採用逆向工程的手段建立產品的數字化模型; 根據測量數據建立人體以及骨骼和器官的計算機模型在醫學、定製生產等方面都有重要意義。
關於採樣數據的重構有基於組合結構和基於隱函數兩類方法。
基於組合結構的方法, 如 Delaunay triangulations, alpha shapes 或Voronoi diagrams 這些方法通過建立三角形網格插值所有或大多數點。當存在噪聲點時，所產生的表面往往是鋸齒狀，因此需要平滑或對數據進行處理（refit to the points in subsequent processing）。
隱函數方法則通過定義分段函數, 定義模型內部的值大於零, 模型外部它的值小於零, 然後提取值爲零的等值面, 這類方法可以直接地重構逼近表面, 如基於快速傅立葉轉換和徑向基函數(R BF s ) 的重構方法都屬於隱函數重構方法。隱函數方法分爲全局方法和局部方法（暫不贅述）。
泊松曲面重建屬於隱函數方法實現。泊松表面重建的算法融合了全局和局部方法的優點，採取隱性擬合的方式，通過求解泊松方程來取得點雲模型所描述的表面信息代表的隱性方程，通過對該方程進行等值面提取，從而得到具有幾何實體信息的表面模型。優點在於，重建出的模型具有水密性的封閉特徵，具有良好的幾何表面特性和細節特性。
經過屏蔽的泊松表面重建算法，在原有泊松表面重建算法的基礎上對輸入的點雲進行插值約束（引入點集的約束和梯度的約束），將等值面提取的輸入方程由原始的泊松方程轉化爲屏蔽泊松方程。屏蔽序列在稀疏的點集合進行選擇；稀疏的約束可被有效處理，且依舊保留相同的有限元離散化，稀疏的結構保持不變，修改後的線性系統可以使用多重網格的方法解決。
爲防止屏蔽因子經過尺度變換造成錯誤信息，加入了相關條件約束。
2.泊松曲面重建的數學基礎
泊松曲面重建基於泊松方程。泊松方程是一個比較常見的偏微分方程，在很多領域被應用，如高動態範圍圖像的調和映射、圖像區域的無縫編輯、流體力學、網格編輯等, 多重網格泊松方法已應用於高效GPU計算。
由梯度關係得到採樣點和指示函數的積分關係，根據積分關係利用劃分塊的方法獲得點集的向量場，計算指示函數梯度場的逼近，構成泊松方程。根據泊松方程使用矩陣迭代求出近似解，採用移動立方體算法提取等值面，對所測數據點集重構出被測物體的模型，泊松方程在邊界處的誤差爲零，因此得到的模型不存在假的表面框。採用隱函數的泊松方程進行表面重構是利用泊松方程在邊界處沒有誤差的特點。
直接計算梯度場會引起向量場在表面邊緣的無窮大值。因此首先用平滑濾波卷積指示函數，然後求平滑函數的梯度場。
高斯散度理論：平滑指示函數的梯度等於平滑表面法向場得到的向量場。
由於曲面未知，無法直接計算表面積分，把採樣點集劃分爲小的區域塊，通過對所有塊的積分求和近似計算。知道向量場V後，可求指示函數。但向量場V不可積，使用最小平方逼近理論求解，應用散度算子得到泊松方程。
泊松表面重建一次性把所有的點都考慮在內，因此對噪聲點有很好的彈性。泊松彷彿允許的層次結構支持局部的基函數，因此對稀疏線性系統的情況有很好的支持。在此基礎上描述了多尺度的空間自適應算法，其時間和空間複雜度同重建模型的大小成正比。
整個算法的步驟包括對具有法向量信息的輸入點雲信息的預處理，對全局問題離散化，對離散化後的子數據求解，求解泊松問題後的等值面提取，以及後期優化處理等。
表面重建過程：
1、定義八叉樹。使用八叉樹結構存儲點集，根據採樣點集的位置定義八叉樹，然後細分八叉樹使每個採樣點都落在深度爲D的葉節點；
2、設置函數空間：對八叉樹的每個節點設置空間函數F，所有節點函數F的線性和可以表示向量場V，基函數F採用了盒濾波的n維卷積；
3、創建向量場：均勻採樣的情況下，假設劃分的塊是常量，通過向量場V逼近指示函數的梯度。採用三次條樣插值（三線插值）；
4、求解泊松方程：方程的解採用拉普拉斯矩陣迭代求出；
5、提取等值面：爲得到重構表面，需要選擇閾值獲得等值面；先估計採樣點的位置，然後用其平均值進行等值面提取，然後用移動立方體算法得到等值面。
參考文獻：
http://www.cs.jhu.edu/~misha/MyPapers/SGP06.pdf
http://www.cs.jhu.edu/~misha/MyPapers/ToG13.pdf
【鏈接】基於泊松方程實現點雲的表面重構
http://www.cnki.net/kcms/detail/detail.aspx?filename=JYRJ200904076&dbcode=CJFQ&dbname=CJFD2009&v=
【鏈接】基於泊松方程的三維表面重建算法的研究
http://url.cn/2H4Umu7
論文作者發表的源代碼：http://www.cs.jhu.edu/~misha/Code/PoissonRecon/Version6.11/