從極點法的O(n^4)複雜度，到極邊法的O(n^3)，再到增量構造法和Jarvis March的O(n^2)，我們經歷了將特定問題算法不斷優化、降低複雜度的過程。那麼還有比O(n^2)更高效的算法嗎？凸包構造算法的下界是什麼？推廣到一般情況，在計算模型固定的情況下特定問題的複雜度下界又是如何確定的？
在計算模型固定的情況下特定問題的複雜度下界（lower bound）是確定的。嚴謹考慮，在設計算法前應該先確定下界是多少。
對於某個問題的特定算法，我們當然能夠去評價這個算法的好壞，就是估算它的時間複雜度。算法能達到的下界也就是所謂問題的難度。當然這種評價通常是比較麻煩的，有時候甚至是不可行的。這就要引入新的的方式來衡量一個算法的好壞。
一、規約（reduction）
我們引入規約（reduction）的方法來間接衡量一個算法。規約簡單來講就是用一個“參照物”對比待評算法，得到算法的複雜度。規約的一般方法如圖：
左側是已知的問題A，已經明確它的難度，右側是待分析問題B，複雜度未知。我們在二者之間建立起一種基本reduction關係：linear-time reduction。linear-time reduction具體表述爲：任何一個A的輸入（input of A），都可以在O(n)複雜度轉化爲一個B的輸入（input of B），然後通過B的某種算法（any algorithm）計算出結果（output of B），而對於output of B又都可以在在O(n)複雜度轉化爲A問題的結果（output of A）。兩次轉換的複雜度不能超過線性，也就是linear-time。
能夠進行上述操作，就稱爲：A問題可以規約到B問題（problem A is linear-time reducible to problem B）。注意表述方式防止搞混A和B的位置。
可以通過曹衝稱象的故事來幫助理解規約的思想。要解決的問題是：沒有秤能直接稱量大象重量（問題B的難度無法直接衡量），解決方案是：利用船和石塊間接稱量。石頭塊的重量是可以直接稱量的（問題A的難度是已知的），利用船來轉換石頭和大象的重量是可操作的（規約的方法是可操作的）。
引入規約記號。problem A is linear-time reducible to problem B表示爲：
將問題A、B的難度分別表示爲|A|，|B|。規約記號的意思相當於|A|≤|B|，A的下界必然就是B的下界。規約的過程先將A的輸入轉化爲B的輸入，經過B的某種算法獲得解後又轉化爲A的解，也就是這個算法也是解決A問題的算法。已知A問題的下界，那麼這個算法必然不會低於A的這個下界。
二、構造凸包的下界
按照“曹衝稱象”的規約思想，分析問題的難度，最重要的在於找到“石頭”，而船就是規約這種方法。以二維凸包（2d-CH）來分析，首先將待解決的問題放到規約記號右邊，而左邊的“石頭”就是排序算法。
排序是純粹的數值計算問題，而凸包是典型的幾何問題，二者是如何聯繫在一起的呢？前面增量構造法和Jarvis March算法正是分別由兩種排序算法來類比引入的，可見排序和凸包之間有深刻的內在聯繫。二者之間的聯繫可以通過下圖表示：
首先清點要做的任務：
- 可以在線性時間內，將排序問題的輸入轉化爲凸包問題的輸入
- 可以在線性時間內，將凸包問題的結果轉化爲排序問題的結果
先看第一條。排序問題的輸入可以表示爲x軸上的一系列的點（圖中藍色點）。然後將這些點轉化爲凸包問題的輸入，就是將這些待排序的數轉化爲平面上的點。引入輔助線——一條拋物線，例如圖中藍色虛線。接下來要對藍色點做到拋物線上的映射（O(n)），映射在拋物線上的點用綠色標出。這樣就完成了將待排序數字轉化爲平面上點的操作。接下來就可以用某種算法將綠色點構造爲凸包，即圖中CH(P)。
再看第二條。凸包CH(P)就是問題問題B的解，如何將B的解轉化爲A的解？注意最左和最右邊兩點的連線，即圖中1和4的連線4→1。除去這條連線之外，其他首尾相接的連線：1→2，2→3和3→4都是“沿着x方向單調的”，遍歷這些首尾相連的邊（O(n)）就能得到一系列的數值，並且已經是有序的了。這樣就將凸包問題的解——凸包CH(P)轉化爲了排序問題的解——有序數值序列。
兩次轉化說明規約是可行的，因此2d-CH問題的下界可由sorting的下界確定。一般而言，排序問題的難度是確定的：O(nlogn)。2d-CH問題的下界也就是
O(nlogn)
更高維的凸包問題下界也是如此。
增量構造法和Jarvis March的O(n^2)到O(nlogn)之間的鴻溝能否跨越呢？是否存在O(nlogn)複雜度的凸包構造算法？後續文章會有回答。
本文是學堂在線課程《計算幾何》的筆記，幫助理解和記錄思考過程，不夠嚴謹請見諒。