上文簡要分析出了凸包構造問題算法的下界：O(nlogn)，在此就引入一種下界意義上最優的算法：Graham Scan算法。這種算法可以保證在最壞情況下時間複雜度也不超過nlogn。我們先大致瞭解一下算法的流程，然後通過一個例子深入算法的細節，最後給出理論性的分析。
一、Graham Scan算法流程
假設待處理點集S共有n個點。
Graham Scan首先要做的是一個預處理排序操作（presorting）。即找到某個基準點，然後將其餘所有的點按照相對於基準點的極座標排序。如下圖：
點的排序可以套用任意排序算法的框架，只是將排序對象由數值變爲了平面上的點，而比較器改爲to left test實現。
以點1爲基準點，其餘點按照相當於點1的極角依次排序爲2、3、4......理論上講任何一個點都能當第一個基準點，爲了簡化算法通常選擇lowest-then-leftmost point（LTL）作爲基準點。
然後對於與基準點1極角最小的點，也就是圖中點2（假設沒有三點共線的情況）。將點1和點2作爲算法的起始點。
再來看Graham Scan用到的數據結構。整個算法非常簡明，核心數據結構只有兩個棧，分別記作棧S和棧T。便於理解我們將S和T畫成開口相對的形式，如下圖：
算法開始前先將起始點1和2入棧S，其他的n-2個點入棧T，如上圖。注意S和T中元素的入棧順序。至此presorting已經完成。
完成預處理之後，就能開始算法的核心：scan操作。scan的過程中要時刻關注三個點：棧S的棧頂（S[0]）、次棧頂（S[1]）和棧T的棧頂（T[0]）。也就下圖紅色標註的三個點：
算法的總體框架爲：
while( !T.empty() ) //檢查棧T中所有點
if ( toLeft( S[1], S[0], T[0]) ) //判斷點T[0]位於邊S[0]S[1]的左邊還是右邊，
S.push( T.pop() ); //左邊則將T棧頂推入S，即向前擴展一條邊
else
S.pop(); //右邊則彈出S棧頂點，即回溯，將此前認爲是極點的點丟棄
可以觀察到，每次待處理的S[0]和S[1]構成的邊一定是一條極邊（如上圖點1和點2），算法關鍵步驟就是對邊這條極邊和T[0]做to left test，判斷T[0]位於邊S[0]S[1]的左邊還是右邊。若在左邊則繼續拓展，若在右邊則否定掉此前認定的極邊。無論結果如何，每次判定都會將問題規模縮小一個單元，算法結束時T最終肯定爲空。T空後，S中存留下的點正是凸包的極點，這些點自底而上正是凸包邊界點的逆時針遍歷，也得到了整個凸包構造問題的解。
先來看一個最簡單的例子，即點集S中所有的點都在凸包邊界上。如下圖：
先找到LTL，也就是圖中點1。然後基於點1對其餘點按極角排序爲點2、3、4......（實際上以一個點爲中心的有序的點集，構成了所謂的星形多邊形（star-shaped polygon），中心點正是星形多邊形核（kernel）的一部分。凸多邊形必然是星形多邊形，反之則不然。）然後找到點1的後繼2，點1和點2構成第一條極邊。初始化棧S和棧T。
現在要關心S[1], S[0]和T[0]，就是點1，2和3。點3位於邊12左側，to left關係爲true，S.push( T.pop() )，向前拓展了一條暫定極邊。
接下來重複上述過程。考慮點2，3和4。to left關係爲true，S.push( T.pop() )......最終棧T空，算法結束，凸包由棧S自底向上得到。S和T的變化過程如下圖：
二、舉例
上面列舉了最簡單的情況下Graham Scan的過程，接下來列舉一個更有代表性的實例深入算法的細節。
輸入的點集S，並進行預處理排序，並初始化棧S、T，如下圖：
接下來對點1，2和3進行to left測試，本質上就是判斷邊2→3（圖中黃色邊）能否被暫時採納。測試結果爲true，暫時採納邊2→3，S.push( T.pop() )。如下圖所示：
注意圖中藍色邊表示已經被暫時接納的邊，也就是算法暫時認定的極邊。上一次操作將藍色邊推進一個單元，接下來關注點2，3和4，來判斷下一條黃色邊3→4能否被接納。to left測試爲true，S.push( T.pop() )，接納邊3→4。如下圖右側所示：
然後判斷點3，4和5。點5在邊3→4的右側，即to left測試爲false。S.pop()，也就是判斷出點4不可能爲極點，丟棄4。因此算法回溯到點3，判斷點2，3和5的關係。5在2→3的左側，暫時接納邊3→5，S.push( T.pop() )。如下圖：
算法經歷了無效操作，進行了回溯，得到了目前來說最優的“極邊”。雖然這些”極邊“不一定能最終保留，但問題的規模得到了削減。
下一次scan考察的就是3，5和6了。
3，5和6的to left測試爲false，S.pop()，捨棄點5。然後考察點2，3和6，to left測試爲false，S.pop()捨棄點3。如下圖：
考察點2，6和7，點7在邊2→6左側，暫時接納邊6→7，S.push( T.pop() )。然後考察點6，7和8。
點8在邊6→7右側，S.pop()，捨棄點7。然後考察點2，6和8，如下圖：
點8在邊2→6左邊，S.push( T.pop() )，接納邊6→8。
此時棧T已經空了，算法結束。棧S自底向上依次爲1、2、6、8，也就構造出了凸包。
三、算法正確性
瞭解了算法的整體流程之後，我們再來論證一下算法的正確性。證明一個算法正確性的方法有很多，在此選用數學歸納法。數學歸納法的思想可用多米諾骨牌類比，要做的無非是兩件事：證明第1張骨牌會倒；證明如果第n張骨牌會倒則第n+1張骨牌也會倒下。
Graham Scan過程就是一個個引入點的過程。每當我們得到第k個點的時候，算法所得到的就是前k個點對應的“最好的凸包”。因此當k = n時得到的是整體的凸包。
歸納的第一步就是證明k = 3時得到的是當前點集S‘ = {1，2，3}中的極邊，也就是證明第1張骨牌會倒。顯然邊1→2是S’的一條極邊。而根據預處理的方式，3相較於1的極角一定小於2，因此點3一定在邊1→2的左側，因此邊2→3會得到保留。對於三個點來說，任意兩條邊一定都是極邊，2→3也是一條極邊。
然後證明：假設已經處理到第k個點，得到的是前點集S' = {1，2，3，...，k}中所謂“最好的凸包”。根據算法處理方式，接下來從S'' = {1，2，3，...，k，k+1}得到的結果是否也是正確的。也就是證明第n張骨牌會倒則第n+1張骨牌也會倒下。
預處理的方式是對2-n所有點相較於點1按極角排序，因此下一個要處理點k+1一定出現在線1→k的左側，也就是下圖藍色區域和綠色區域（假設k = 9）：
而根據目前接納的最後一條極邊 k-1→k （例如圖中8→9）來劃分，點k+1可能出現的區域又分爲兩塊，即該極邊的左側（綠色區域）和右側（藍色區域）。這也正對應於算法判定的兩個分支。
左側的情況很簡單，點k+1顯然會是一個新的極點。Graham Scan要做的正是暫時接納邊k→k+1，拓展了一個新的單位。
再看k+1落在右側的情況。如下圖點10：
Graham Scan要做的是丟棄點k（圖中點9），也就是判定出點k不可能是極點。這樣做的原因：是引入點k+1後，點k一定會被包含在三角形(1, k-1, k+1)內部。如圖中點9一定包含於三角形(1, 8, 10)內部。正如極點法中排除非極點的做法，點k被排除是正確的做法。接下來點k-1，k-2等（如圖中點8，點7等）也可能是非極點，按照算法的流程，它們總會被判定在某個三角形的內部（例如點7在三角形(1, 5, 10)內部）而被排除，直到left test爲true，回溯停止。
換個角度考慮，回溯停止時得到的新邊正是增量構造法中每步得到的support line，即切線。例如圖中線5→10正是算法當前保留的”凸包“的切線。這也能論證Graham Scan處理方式的正確性。
至此，算法思路上的正確性已經證明完畢。
接下來還要考慮算法的表述方式是否有漏洞：代碼中每次to left test之前並沒有判斷S棧中是否有≥2個元素。這也可以由預處理的方式來論證。點1選取的是LTL，而點2是相對於點1極角最小的點，這樣的做法保證了除了點1和點2之外所有的點一定是在邊1→2左側的。因此算法回溯最多到點2，永遠不可能把點2丟棄，S中元素任何時候至少有兩個。
Graham Scan算法的正確性論證完畢。
最後來思考一下預處理操作：presorting。仔細回顧上述論證過程會發現，每一步的正確性都是建立在最初的排序上的。那麼這個預處理排序真的是必要的嗎？可以來舉極端的反例，每次選取下一個點都是隨機的，例如下圖的路徑：
上圖中從點1開始出發進行to left測試，可以發現，每次判定結果都爲true，最終所有的點都被保留了下了，而顯然這並不是一個凸包。因此presorting是整個算法成立的基礎。
四、算法分析
上面證明了Graham Scan算法的正確性，接下來分析其複雜度是否滿足O(nlogn)，實現所謂的最優算法。
直觀上無法斷定Graham Scan是一個最優的算法，尤其是以下極端情況令人質疑其效率：
算法複雜度由三部分決定：
- persorting，採用一般排序算法，複雜度是O(nlogn)
- 逐步迭代，O(n)
- scan，O(?)
算法的總體複雜度就是O(nlogn + n * ?)。可見scan的複雜度決定了算法總體的複雜度
算法一步步納入新點，會迭代n步。但是在每個點上都有可能做回溯操作，所以scan的複雜度是不確定的。我們來以上圖最壞情況爲例，到第8個點時判定爲false，捨棄點7，回溯。下一步判斷也爲false，捨棄點6，回溯。如此回溯直到算法開始的點2。這次scan倒退了高達O(n)個點，如果每次scan都是如此那麼算法整體複雜度就爲：O(nlogn + n * n) = O(n^2)了，那這種算法的意義也就不大了。
其實上述分析並非錯誤，只是不夠精確。O(n^2)確實是Graham Scan算法的一個上界，但是這個上界並不是緊的。問題就出在分析假定了每次都會出現回退高達O(n)個點。
下圖展示了整個Graham Scan的流程：
圖中黃色邊是沒有采納的，就是to left測試判定爲false後直接捨去的。紫色邊則是曾經被認爲是極邊而接納的，後來經過回溯又捨去了。無論是黃邊還是紫邊，在其上耗費的都是常數時間，關鍵就在於黃色邊和紫色邊的數目了。
通過觀察可以發現，從圖論的角度看，所有的黃色邊和紫色邊連在一起構成了一張平面圖，也就是它們互相是不可能內部相交的。平面圖的一個重要性質：
平面圖中所有邊的數目和頂點數目保持同階
這個性質來自歐拉公式：有n個點的平面圖，邊的數目上限是3n，也就是O(3n)。
根據這個性質，在persorting之後的整個流程中，Graham Scan所能走過的所有邊不僅不會到達n^2，而頂多到達和n同階的一個線性數目。因此整個算法的複雜度也就取決於persorting的O(nlogn)了。
五、算法推廣*
Graham Scan算法不僅可以用於凸包構造問題，在其他許多場景下中也十分有效。爲了推廣Graham Scan算法，首先可以對其做簡化，以方便利用在其他問題。
首先再來回顧一下預處理排序，這是算法成立必不可少的一步。排序算法套用成熟的方法即可，利用數學方法計算偏角不僅複雜而且引入了誤差，所以要採用to left test。要做的就是兩點：
- 套用成熟的排序算法，將待排序元素由數值變爲點
- 將排序算法的比較器改爲to left test實現
按照這樣的流程就能間接地實現persorting。
有時候我們並不是從零開始構造凸包，例如得到的待處理點集已經是有某種次序的（比如已經按x座標大小排序，如下圖）。
這種情況也不一定非得進行persorting構造新的次序，通常改變觀察的角度，換一種理解方式就能免去預處理而直接進行後面的線性的scan操作了。
考慮y軸負方向無窮遠一個點，所有的點相對於這個點的極角排序恰好就是各點的x座標序！也就是將無窮遠的點看作起始點①，最右側點（圖中點8）看作點②，進行scan過程直到最左邊的點（圖中點1）結束，就得到了凸包的上半部分（upper hull），也就是下圖的8→7→2→1：
下半部分凸包（lower hull）的構造也是如此。考慮一個在y軸正方向無窮遠的一個點，以此爲起點進行scan，最終得到lower hull：1→4→7。最後將兩個凸包合二爲一即可。
本文是學堂在線課程《計算幾何》的筆記，幫助理解和記錄思考過程，不夠嚴謹請見諒。