数据结构和算法（六）循环不变式与插入排序证明 （算法导论读书笔记）

插入排序说明： 工作方式像排序一手扑克牌。开始时，左手为空并且桌子上的牌面向下。然后每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌的正确位置，我们从右到左将它与自己手中的每张牌进行比较。

算法实现- 伪代码

INSERTION-SORT(A) A表示待排序的数组

 INSERTION-SORT(A)   
	for j = 2 to A.length {   
		key = A[j] // 拿起一张牌   
		// 将这张牌和手上的牌做比较 A[1...j-1]   
		i = j - 1   
		while i > 0 and a[i] > key {   
			A[i+1] = A[i]   
			i --   
		}   
		A[i+1] = key   
	} ​

循环不变式

在for循环每次迭代开始，子数组A[1…j-1]由原来在A[1…j-1]中的元素组成，但已按序排序。我们把A[1…j-i]称为循环不变式。 循环不变式主要用来帮助我们理解算法的正确性。关于循环不变式，我们必须证明三条性质：

• 初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。
• 保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。
• 终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法是正确的。

循环不变式插入排序正确性证明

1. 初始化：第一次迭代之前，循环不变式成立。子数组A[1…j-1]仅由单个元素A[1]组成，该子数组是排序好的（只有一个元素，当然排序好的）。这表明第一次循环迭代之前，循环不变式成立。

2. 保持：在while循环里面，我们将A[j-1]、A[j-2]、A[j-3]… 往后挪了一个位置，直到找到A[j]适当的位置，之后将A[j]插入该位置。子数组始终是 A[1…j-1]，并已排序。那么for循环的下一次迭代增加j将保持循环不变式。

3. 终止：首先终止条件是 j > A.length = n。因为每次循环迭代j加1，那么不终止的时候，必有 j = n + 1，而这个时候我们的子数组A[1…n]由原来的A[1…n]中的元素组成，并已排序。因此算法正确。

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[1] 《算法导论》 机械工业出版社