再探馬周遊問題

【轉載】買回了王曉東的《算法設計與分析習題解答》，書中代碼是用Java寫的，看了跳馬問題的部分，基本理解了算法。首先說明一下，《算法設計與分析》原書的題目其實是要找一條哈密爾頓通路，而《習題解答》中是解哈密爾頓迴路的，即不僅要不重複的跳過棋盤的每一個格子，最後還要能回到出發點。先解釋一下尋找哈密爾頓迴路的算法：
【問題描述】
對於給定的m × n的國際象棋棋盤，m和n均爲大於5的偶數，且|m - n| <= 2，試設計一個分治算法找出一條馬的哈密爾頓迴路。
【算法】
首先，考慮n × n的棋盤，馬踏棋盤是黑白相間的，對於一條哈密爾頓迴路來說，馬在棋盤上所踏過的黑色格子和白色格子相等，因此，棋盤的格子數應爲偶數，n不能爲奇數。即n爲奇數的n × n棋盤不存在哈密爾頓迴路（但可能存在哈密爾頓通路）。而對於m × n的棋盤（m != n），m, n均爲奇數則不存在哈密爾頓迴路。好在題目已經限定m, n均爲偶數且|m - n| <= 2，這說明在這種情況下一定存在哈密爾頓迴路。而在其他情況下，如m, n一奇一偶或|m - n| > 2是否存在哈密爾頓迴路則不好說。至於題目爲何要做此限定，如何證明這種限定的合理性則有待探究，當然對此問題的討論也超過了本文的範圍。
現在回到題目本身，算法考察一類具有特殊結構的解，這類解在棋盤的4個角都包含2條特殊邊，如下圖。稱具有這類特殊結構的哈密爾頓迴路爲結構化的哈密爾頓迴路。

用回溯法可在O(1)（留有疑問）時間內找出6 × 6, 6 × 8, 8 × 8, 8 × 10, 10 × 10, 10 × 12棋盤上的結構化的哈密爾頓迴路。同時注意到四個角上每個點只有兩條邊，而哈密爾頓迴路要經過這個角，走的邊不能重複，因此這兩條邊必然在漢密爾頓迴路的路徑上。故結構化的解一定形如下圖：

而對於6 × 8, 8 × 10, 10 × 12的棋盤，旋轉90度即可得到8 × 6, 10 × 8, 12 × 10的棋盤上結構化的哈密爾頓迴路。
對於m, n >= 12的情形，採用分治策略。
1. 分治：將棋盤儘可能的平均分割成4塊，當m, n = 4k時，分割爲2個2k；當m, n = 4k + 2時，分割爲1個2k和1個2k + 2。
2. 合併：4個子棋盤拼接後如下圖：



分別刪除4個子棋盤中的結構化的邊A, B, C, D，添入新的邊E, F, G, H，構成整個棋盤結構化的哈密爾頓迴路，如下圖所示：
                
從圖中可以看出， 合併的過程其實很簡單，如果把A, D, C, B看作風扇的槳葉，則合併後就是將槳葉依次逆時針向下打了一個點（逆時針旋轉）。
至此，算法結束，我們可以看到，當n >= 12是使用分治法，分成4個子棋盤，而合併過程只需常數時間即可完成，設該算法時間爲T(n)，則有遞推方程：T(n) = 4T(n / 2) + O(1)，據Master定理知T(n) = O(n ^ 2)，這就是在棋盤中尋找哈密爾頓迴路的時間複雜度。比《跳馬問題（騎士周遊問題）初探 》一文中從給定起始點尋找哈密爾頓通路的問題快了不少。
【分析】
回到《算法分析與設計》一書中課後的那道題，是否存在一個分治的求哈密爾頓通路的算法呢？這個問題我現在還沒有確切的答案，因爲從網上搜索的一些資料看（CSDN的帖子中很多人問了這個問題），有幾個網友說有一篇論文似乎是論述了類似的問題，分治的方法十分複雜，要根據不同的情況去分割問題，但很遺憾，這些網友們給出的論文地址已經無效，我沒有看到確切的方法。
但如果想用類似解哈密爾頓迴路的算法來解決哈密爾頓通路的問題，我分析認爲不可能（即要分治不可能是像解迴路一樣分治，如前所說，答案可能在那篇神祕的論文中）。這種不可能正是由於“迴路”和“通路”這一字之差引起的：迴路與起始點無關，算法只需在棋盤中能夠找到一條哈密爾頓迴路，則從任何一點都能不重複的經過棋盤上每一點並回到起始點。而哈密爾頓通路與起始點有關，且路徑不是封閉的，這就使得迴路中考察的結構化路徑的解可能不存在，考慮起始點在最左上角的情形，通路不用再回到這個左上角，所以角上的兩條邊只用一條，這樣在合併時通路問題就不會出現結構化路徑中的中心對稱結構。 因此，我們不能從迴路算法中得到啓發去找到通路問題的分治解。
當然，由於通路是比迴路弱的一個解要求，當棋盤滿足m, n爲偶數，m, n >= 6且|m - n| <= 2的條件時，我們可以直接調用這個迴路算法得到一條哈密爾頓迴路，然後刪去起始點和終點的邊即得通路的解，而在不滿足這個條件時，如5 × 5的棋盤上，對某些起始點是存在哈密爾頓通路的，仍然需要使用回溯的算法去求解，時間複雜度爲O(8 ^ (m * n))。
從回溯算法的時間複雜度，又引出前面書中所說：“用回溯法可在O(1)時間內找出6 × 6, 6 × 8, 8 × 8, 8 × 10, 10 × 10, 10 × 12棋盤上的結構化的哈密爾頓迴路。”的疑問，回溯法怎麼可能是在O(1)時間內得到這些棋盤上回路的解呢？如果這樣，就要求在這些規模的棋盤上構建議一條結構化的迴路（即四角對稱的迴路）有固定的跳馬方法，這種方法使得每一步跳馬時的步子只有唯一選擇，但即使這樣也至少是個線性時間的複雜度啊。從書中的源代碼看，好像是直接一一的讀取這些規模棋盤上的迴路（即迴路已經手工構造好了），這樣複雜度纔是O(1)，所以書中的這句話應該有錯。
另外需要說明的是書的所附光盤並沒有源代碼，只有幾個testcase，十分的遺憾（不知爲什麼不放，可能是怕盜版，大家拿到源碼後都不買書了吧:)，不過這一點比之國外教材就差了）。而書中的源代碼中ReadStream在Java API中並不存在，kyeboard.readInt()也不知是從哪讀的數據（光盤上也沒有），反正代碼中是用這個類來初始化6 × 6, 6 × 8, 8 × 8, 8 × 10, 10 × 10, 10 × 12這些特殊規模棋盤的解的。這種缺憾使得源碼不能上機跑起來，我也沒有手工的跑這個程序去分析（有時間再說吧），另外書中的代碼的註釋實在是太少了。這些遺憾都使得該書對讀者來說不太方便。
【參考文獻】
[1] 《計算機算法設計與分析（第2版）》 王曉東 電子工業出版社
[2] 《算法設計與分析習題解答》 王曉東 清華大學出版社