one class SVM

背景：通常一类问题出现在需要对训练样本进行一定比例的筛选，或者已知的训练样本都是正样本，而负样本却很少的情况。
这种情况下，往往需要训练一个对于训练样本紧凑的分类边界，就可以通过负样本实验。一个简单的实际例子是：一个工厂对于产品的合格性进行检查时，往往所知道是合格产品的参数，而不合格的产品的参数要么空间比较大，要么知道的很少。这种情况下就可以通过已知的合格产品参数来训练一个一类分类器，得到一个紧凑的分类边界，超出这个边界就认为是不合格产品。形式化的说明知乎上有个很好的例子：
http://www.zhihu.com/question/22365729
原理：
它求解的模型如下所示：

其中的参数V特别注意，它的值在0-1之间，是一个比例值，它的含义是：你的训练样本中最后被分类为负样本的比例。比如你有100个训练样本，V设为0.1，去学一个one class SVM，然后在学到的SVM上测试你之前用的训练集，最后可以看到有10个左右的样本的标签为-1，被分为负样本。下面还会通过实验进行说明。模型的求解等其他理论细节请参考大牛Bernhard Scholkopf的文章：Support Vector Method for Novelty Detection
http://papers.nips.cc/paper/1723-support-vector-method-for-novelty-detection.pdf
实验：
libsvm中有关于one class SVM的实现，算法就是根据上面Bernhard Scholkopf的文章。可以用下面代码进行测试：

% Generate training data 
r = 20;
fprintf('Learning the function x^2 + y^2 < 1\n');
[XX,YY] = meshgrid(-1:1/r:1,-1:1/r:1);
X = [XX(:) YY(:)];
Y = 2*(sqrt(X(:,1).^2 + X(:,2).^2) < 1)-1 ;

Pin = find(Y==1);
X1 = X(Pin,:);
Y1 = Y(Pin);

% Plot training data
figure;hold on;
set(gca,'FontSize',16);    
for i = 1:length(Y1)
    if(Y1(i) > 0)
        plot(X1(i,1),X1(i,2),'g.');
    else
        plot(X1(i,1),X1(i,2),'r.');
    end
end

% Draw the decision boundary
theta = linspace(0,2*pi,100);
plot(cos(theta),sin(theta),'k-');
xlabel('x');
ylabel('y')
title(sprintf('Training data (%i points)',length(Y))); 
axis equal tight; box on;

通过上面的代码可以构造一个在圆内的训练样本，如下图所有：

这样我们就假设所有圆外的样本为负样本，下面我们就进行one-class SVM训练，可以看到有个参数-n，它就是我们上面提到的V，也就是这些训练样本中包含负样本的比例。

%%train one class SVM with 10% instances to be set as outlier
model = svmtrain(Y1,X1,'-s 2 -n 0.01');
[Y1,Y2,Y3] = svmpredict(Y,X,model);

for i = 1:length(Y)
    if(Y1(i) > 0)
        plot(X(i,1),X(i,2),'g.');
    else
        plot(X(i,1),X(i,2),'r.');
    end
end

上面的代码可以得到下面的结果：

其中预测为正的用绿色表示，预测为负的用红色表示。
为了说明参数V的作用，将-n设为0.3后可以得到如下结果：

（黑线圆圈里是我们的训练样本的点）
上面是对负样本的检测效果验证，当一个新样本在圆内时，我们还是希望分类器可以将新样本分为正样本，下面就通过一段代码验证了这个效果：

X21 = rand(100,1);
X22 = 1-X21;
X2 = [X21 X22];
Y2 = ones(100,1);
% X = [X;X2];
% Y = [Y;Y2];
[Y1,Y2,Y3] = svmpredict(Y2,X2,model);

for i = 1:length(Y1)
    if(Y1(i) > 0)
        plot(X2(i,1),X2(i,2),'g.');
    else
        plot(X2(i,1),X2(i,2),'r.');
    end
end

上面的代码得到的效果如下图：

可以看到这些新样本的标签都分对了（n设为0.01的情况），另外，由于新样本（x1，y1）满足x1+y1=1所以显示在一条直线上。