Correlation Filter Object Tracking入門簡介
近期一直在研究相關濾波（Correlation filter）的東西，自己沒啥地方記錄的，本子也破的不行了，就這隨便記錄一下自己的感想，供以後回憶用！~這篇文章主要是講一下最早應用的文章Minimum Output Sum of Squared Error(MOSSE)當中的一些思想和自己的一些基本理解。
一、基礎概念
維基百科中關於相關的定義：
在概率論和統計學中，相關（Correlation，或稱相關係數或關聯繫數），顯示兩個隨機變量之間線性關係的強度和方向。在統計學中，相關的意義是用來衡量兩個變量相對於其相互獨立的距離。在這個廣義的定義下，有許多根據數據特點而定義的用來衡量數據相關的係數。
相關(correlation)的直觀解釋就是衡量兩個函數在某個時刻的相似的程度。
相關又分爲自相關（auto-correlation）和互相關（cross-correlation）。
互相關的概念：
基礎的概念大概就這麼些吧，其他的想要了解的可以自己多查一下資料，就是先對這些有一個概念。
二、相關在tracking中的應用
相關（correlation filter）應用在tracking方面的最爲直觀的方法：相關就是衡量兩個信號相似值得度量。如果兩個信號相似越高，就表明這兩個信號的相關值就越大。在tracking的應用當中，我們的目的就是設計這麼一個模版，使得當模版和輸入的圖片目標做相關時，能在目標的中心位置得到最大的響應值。如下圖所示：
第一步：
尋找一個濾波模板，使得它在目標上的響應值最大，寫成公式就是：
g=h★f—————————————-①
g表示響應輸出值
h表示濾波模板
f表示輸入圖像
g可以使任意形式的響應輸出，大多數情況下爲gaussian形狀。明顯可以看出，在公式當中，只有h是未知的，即濾波模板，這就是我們所要去計算的，所要得到的。從公式來看，這個並不是很複雜，但是相關濾波的方法在tracking當中的速度爲什麼這麼快呢？這個就要歸功於傅里葉變換。在所有的求解過程當中都是用到了快速傅里葉變換FFT。由卷積定理的correlation版本可以知道，函數互相關傅里葉變換等於函數傅里葉變換的乘積。如公式②所示。
F(h)★f=（F(h)）*⊙F(f)——————–②
其中F（·）表示傅里葉變換，⊙表示點乘，接下來，假設輸入圖片f所含的像素的個數爲n，而已知FFT變換的時間複雜度爲O(nlogn),由此可知，②式的時間複雜度也爲O(nlogn)。
第二步：
明白了上面所說的一些觀點之後也就比較好理解了，也就可以明白爲什麼相關濾波類型的tracking algorithm的計算時間比較快，也就是想要表達的主要的內容。本步主要說一下怎麼求h。
爲了看着方便，我們設 F=F(f),(F(h))* = H*,F(g)=G.由此可以得到
H*=G/F————————————–③
這裏我們的目標圖像只有一張的時候，但是在實際使用的過程當中，目標會由於外觀、光照等因素的改變發生變換，我們需要同時考慮目標不同狀態下的情況，則以不同狀態下的m個圖像作爲參考，以此計算得到的模板提高濾波模板的魯棒性，則有：
求解出來等式④並不算困難，根據卷積定理，在頻率域的計算都是元素爲單位的，因此可以分別求出來H*當中的每一個元素，就可以得出：
接下來就是熟悉的求導，使導數等於零。解出來就可以了。
但是在MOSSE論文當中提到了，複數域求導和實數域的求導是不一樣的：
按照上述的方法把得到的H進行處理，得到：
這就是我們最終求得的濾波模板，也就是我們所要求得核心東西。
接下來就可以開始跟蹤了。在跟蹤的過程中，我們只需要把以上模板與當前幀的圖像作相關操作，將得到的響應結果中最大的那點對應座標作爲目標在當前幀位置就可以了（相當於在2維上平移我們的模板）。然後，模板的更新方式可以按照如下的方式進行：
H(t)=(1−η)H(t−1)+ηH(t)——————–⑥
H(t)表示當前幀模板，H(t-1)表示前一陣模板，η爲學習率。
總結
總得來說，MOSSE方法開創了CF在tracking方面的先河，而在後面的一系列文章裏，我們將介紹一系列用概率論、嶺迴歸等理論對其作進一步提升的文章。特別是我研究的最多的KCF方向的文章，我會進行詳細的分析和介紹。
參考文獻
Visual object tracking using adaptive correlation filters
http://www.djhome.net/NeoFilterLabs/downloads/CVPR_Poster_Ver5.pdf
相關（維基百科）https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E5%85%B3
互相關https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E7%9B%B8%E5%85%B3