POJ 3252 Round Numbers

題目：傳送門

題目大意：輸入兩個數start和finish，求閉區間[start，finish]中Round Numbers（二進制表示中0的個數大於等於1的個數）的個數。

分析：有兩種做法。
一種是數位dp，limit的作用是，如果當前pos位之前的更高位已經達到最大值（默認受bit[]限制），那麼當前位就會受bit[]限制，否則，則當前位爲0，1都可以，這是爲了保證搜索的數不會比x大。lead表示第一位是否已經有一個1。用dp[][][]（dp[pos][c0][c1]：搜索到pos位且更高位包含c0個0、c1個1時的Round Numbers（以下采用縮寫RN）數）存儲已經求得的值，使用記憶化搜索避免子問題重複計算。

第二種做法是將此問題看做一個組合數學問題。若要求<=x的RN數，比如數字x的二進制表示長度爲len，那麼我們先求二進制表示長度小於len的RN數，這個比較容易，設L<len ，那麼最高位肯定放1，剩下L-1位可以放0和1，那麼滿足0的個數大於等於1的個數的數N=

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪(L−1(L−1)/2+1)+(L−1(L−1)/2+2)+...+(L−1L−1)=2L−1−(L−1(L−1)/2)2,(L−1(L−1)/2)+(L−1(L−1)/2+1)+...+(L−1L−1)=2L−12,if L is evenif L is odd

然後再加上長度爲L 的RN數，求長度爲L 的RN數的方法爲，從x的高位向低位掃描，若當前位position 是1，那麼將當前位position 放0，然後根據高位0和1的個數計算剩下位滿足條件的放置數，具體看代碼吧。

代碼：

/*數位dp*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

int dp[33][33][33];
int bit[33];

int dfs(int pos,int c0,int c1,bool lead,bool limit){
    if(pos==-1){
        if(lead) return 1;
        if(c0>=c1) return 1;
        return 0;
    }
    if(!lead&&!limit&&dp[pos][c0][c1]!=-1) return dp[pos][c0][c1];
    int up=limit?bit[pos]:1;
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=up;++i){
        if(lead){
            if(!i) ans+=dfs(pos-1,0,0,lead,limit&&i==up);
            else ans+=dfs(pos-1,c0,c1+1,false,limit&&i==up); 
        }
        else{
            if(!i) ans+=dfs(pos-1,c0+1,c1,lead,limit&&i==up);
            else ans+=dfs(pos-1,c0,c1+1,lead,limit&&i==up);
        }
    }
    if(!lead&&!limit) dp[pos][c0][c1]=ans;
    return ans;
}

int solve(int x){
    int len=0;
    while(x) bit[len++]=x&1,x>>=1;
    return dfs(len-1,0,0,true,true);
}

int main(){
    int s,f;
    while(cin>>s>>f){
        memset(dp,-1,sizeof dp);
        cout<<solve(f)-solve(s-1)<<endl;
    }
    return 0;
}

/*組合數學*/
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
using namespace std;

int s,f;
int c[33][33];
int bit[33];

void calC(){
    c[0][0]=c[1][0]=c[1][1]=1;
    for(int i=2;i<33;++i){
        c[i][0]=1;
        for(int j=1;j<i;++j){
            c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
        }
        c[i][i]=1;
    }
}

int solve(int x){
    if(x<=1) return 0;
    int ans=0;
    int len=0;
    int c0=0,c1=0;
    while(x){
        if(x&1) bit[len++]=1,c1++;
        else bit[len++]=0,c0++;
        x>>=1;
    }
    if(c0>=c1) ans++;
    for(int i=1;i<len;++i){
        if(i&1) ans+=((1<<(i-1))-c[i-1][(i-1)/2])/2;
        else ans+=(1<<(i-1))/2; 
    }
    c0=0; c1=1;
    for(int i=len-2;i>=0;--i){
        if(bit[i]==1){
            for(int j=i;j>=0&&c0+j+1>=c1+i-j;--j){
                ans+=c[i][j];
            }
            c1++;
        }
        else c0++;
    }
    return ans;
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    calC();
    while(cin>>s>>f){
        cout<<solve(f)-solve(s-1)<<endl;
    }
    return 0;
}