【CCF-CSP】201312-4 有趣的數 (劃分狀態dp）

【CCF-CSP】201312-4 有趣的數

題目

給一個數 n，求長度爲 n 且滿足一下條件的數字串的個數，結果取模。

1. 只包含 0, 1, 2, 3，且必須包含
2. 0 不作爲開頭
3. 所有 0 在 所有 1 前面，所有 2 在所有 3 前面

分析

遇到這樣的題，肯定要先寫幾項，觀察規律。可以看出 2 一定開頭，因爲數字 1、3都有限制，而 0 又不能作爲開頭。不過好像沒什麼用。

在寫規律的時候發現，長度爲 n 的所有字符串都可以由長度爲 n -1 的字符串添一個字符推出，有點 dp 的感覺。

不過添加字符的方式有很多，不好寫轉移方程。因此對於長度爲 n 的集合，要繼續劃分更細的狀態。首先注意到題目中很重要的限制：所有 0 在 所有 1 前面，所有 2 在所有 3 前面，因此狀態轉移方程中要根據最後一位加不加 1, 3來做（這樣纔會滿足限制）。

最終肯定要求由且僅由 {0,1,2,3} 組成的字符串。那麼相應的可以從 {0, 1, 2} 加 3，或者 {0, 2, 3} 加 1 來轉移過來。

{0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2} +3;
{0, 1, 2, 3} = {0, 2, 3} +1;

同理：

{0, 1, 2} = {0, 2} +1;
{0, 2, 3} = {0, 2} +3;
{0, 2} = {2} + 0;

通過上面的分析，可以很自然得出狀態轉移方程。$dp[i][j]$ 表示長度爲 i，且狀態爲 j，的所有方案數。

狀態	含義
s1	只包含 {2}
s2	只包含 {2, 0}
s3	只包含 {2, 3}
s4	只包含 {2, 0, 1}
s5	只包含 {2, 0, 3}
s6	只包含 {2, 0, 1, 3}

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define d(x) cout<<x<<endl

typedef long long ll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e3 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;

int n;
ll dp[N][6];

int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		dp[i][1] = 1;
		// 下面 (* 2) 代表從上個狀態加兩種數字達到
		dp[i][2] = (dp[i - 1][2] * 2 + dp[i - 1][1]) % mod; 
		dp[i][3] = (dp[i - 1][3] + dp[i - 1][1]) % mod;
		dp[i][4] = (dp[i - 1][4] * 2 + dp[i - 1][2]) % mod;
		dp[i][5] = (dp[i - 1][5] * 2 + dp[i - 1][2] + dp[i - 1][3]) % mod;
		dp[i][6] = (dp[i - 1][6] * 2 + dp[i - 1][4] + dp[i - 1][5]) % mod;
	}
	printf("%lld\n", dp[n][6]);
	return 0;
}