J - Mobilization（想法 數學）

https://vjudge.net/problem/Kattis-mobilization

題意：

n種物品，最大花費爲m，每種有cost和ab值，無限數量（可以買分數個），最後的答案爲$sum_a*sum_b$，求最大值

解析：

分數用來統一cost，即算出每個物品每單位cost的a和b。

有用的物品形成凸包：

我們分析相鄰3個點ACB，找到C在AB上的投影C’，顯然C’可以通過AB由某種方式組成（$(k_1a_A+k_2a_B)(k_1b_A+k_2b_B)=(k_1+k_2)a_C(k_1+k_2)b_C$）

對於這種組成方式，C’顯然優於C，所以假設最後答案爲$K_1A,K_2B$，我們可以將內部的$k_1A,k_2B$代替爲C，所以最後只剩下AC或者BC。

其他情況也可以推到上面的情況，最後證明：最後的答案由凸包的兩個相鄰點組成。

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對於兩個點$(a1,b1)(a2,b2)$，假設最後爲$(xa1+(K-x)a2)(xb1+(K-x)b2)$
化簡爲：$((a1-a2)x+Ka2)((b1-b2)x+Kb2)$
最大值取$x=\dfrac{\dfrac{Ka2}{a2-a1}+\dfrac{Kb2}{b2-b1}}{2}$

（我也不知道開口朝哪邊，但是最大值只可能在3個位置，區間兩個端點和極值點位置）

代碼：

/*
 *  Author : Jk_Chen
 *    Date : 2020-02-23-14.43.59
 */
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair<double, double>
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<'\n'
const LL mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+9;
const int inf=0x3f3f3f3f;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();
    while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
#define rd rd()
/*_________________________________________________________begin*/

pill e[maxn];
int dcmp(double x){return fabs(x)<1e-8?0:(x>0?1:-1); }
bool In(pill a,pill b,pill c){// 折線朝下凸
    pill A={c.fi-b.fi,c.se-b.se},B={a.fi-b.fi,a.se-b.se};
    return dcmp(A.fi*B.se-B.fi*A.se)>=0;
}

int main(){
    int n;double K;
    scanf("%d%lf",&n,&K);
    rep(i,1,n){
        double c;
        scanf("%lf%lf%lf",&c,&e[i].fi,&e[i].se);
        e[i].fi/=c,e[i].se/=c;
    }
    sort(e+1,e+1+n);
    int cnt=0;
    rep(i,1,n){
        while(cnt>=2&&In(e[cnt-1],e[cnt],e[i])){
            cnt--;
        }
        e[++cnt]=e[i];
    }
    double ans=0;
    rep(i,1,cnt-1){
        double a1=e[i].fi,b1=e[i].se;
        double a2=e[i+1].fi,b2=e[i+1].se;
        double x=K*(a2/(a2-a1)+b2/(b2-b1))/2;
        if(x<K&&x>0){
            ans=max(ans,(x*a1+(K-x)*a2)*(x*b1+(K-x)*b2));
        }
        x=0;
            ans=max(ans,(x*a1+(K-x)*a2)*(x*b1+(K-x)*b2));
        x=K;
            ans=max(ans,(x*a1+(K-x)*a2)*(x*b1+(K-x)*b2));
    }
    printf("%.10f\n",ans);

    return 0;
}

/*_________________________________________________________end*/