簡單的劃分數

問題

劃分數就是將整數 n 分成若干個大於 0 的數的和。例如，n = 4，可以分成 1+1+1+1，1+1+2，1+3，2+2，4，一共 5 種方案，注意 1+1+2，1+2+1，2+1+1被認爲是相同的方案。

求整數 80 的劃分數方案。

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答案

15796476

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思路

還是用dfs做，只是有點慢（要25s）(￣▽￣)”（只適合小數，如果是大數的話就很慢了）。

也可以用遞歸做,將遞歸函數的聲明爲 int d(int n, int m);其中n爲要劃分的正整數，m是劃分中的最大加數(當m > n時，最大加數爲n)，分下列幾種情況：

• 當 n=1，d爲1，因爲無論m爲多少就只有1
• 當 m=1 時，d=1 ，由上例可知，當 n=4 時，d只有 1+1+1+1 這1種

• 當 n=m 時，又分爲兩種情況：

  • 第一種就是包含m的時候，就只有 m 這一種。
  • 另外一種就是不包含 m ，那麼最大數就爲 m-1 ,有 d(n,m-1) 種

  因此當 n=m 時，d(n , n)=1+ d(n,n-1）

• 當n < m 就相當於 d(n,n) 了

• 當 n > m 時，一種是不含m，爲d（n，m-1）種,一種是含有m，有d（n-m，m）種

  因此d(n,m)=d（n-m，m）+d（n，m-1）

  注意理解d（n-m，m），注意這裏的前提是劃分包含m，所以將m提出來一個，保證劃分中一定會有m，剩下數字劃分的和爲n-m，而這n-m中可能不會出現m，也可能出現m，但由於我們已經提出了一個m，所以此處不用擔心m是否再出現。第一個數爲什麼是（n-m）,原因是提出一個m後，已經保證了劃分中一定出現m，而n-m還沒有進行劃分，這裏忽略提出的m，對剩下的整數n-m進行劃分，劃分的最大值仍然是m

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代碼

• dfs代碼

#include <iostream>
using namespace std;
int total=0;
void dfs(int a,int sum){
    if (sum==80) {
        total++;
        return;
    }
    if (sum>80) {
        return;
    }
    for (int i=a;i<=80;i++) {
        dfs(i,sum+i);
    }
}
int main(int argc, char *argv[]) {
    dfs(1,0);
    printf("%d",total);
    return 0;
}

• 遞歸代碼

#include <stdio.h> 
int d(int n, int m){
    if(n < 1 || m < 1) return 0;
    if(n == 1 || m == 1) return 1;
    if(n < m) return d(n, n);
    if(n == m) return (d(n, m - 1) + 1);
    if(n > m) return d(n, m - 1)+d((n - m), m);
}
int main(){
    printf("%d",d(80,80));
    return 0;
}