一、基本概念
在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個複雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最後子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合併。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸併排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……
任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那麼容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。
二、基本思想及策略
分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對於一個規模爲n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解爲k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然後將各子問題的解合併得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那麼這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就爲使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反覆應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。
三、分治法適用的情況
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特徵：
1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
2) 該問題可以分解爲若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。
3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合併爲該問題的解；
4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
第一條特徵是絕大多數問題都可以滿足的，因爲問題的計算複雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；
第二條特徵是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特徵反映了遞歸思想的應用；、
第三條特徵是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特徵，如果具備了第一條和第二條特徵，而不具備第三條特徵，則可以考慮用貪心法或動態規劃法。
第四條特徵涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重複地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規劃法較好。
四、分治法的基本步驟
分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
step1 分解：將原問題分解爲若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
step3 合併：將各個子問題的解合併爲原問題的解。
它的一般的算法設計模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 將P分解爲較小的子問題 P1 ,P2 ,...,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 遞歸解決Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,...,yk) △ 合併子問題
7. return(T)
其中|P|表示問題P的規模；n0爲一閾值，表示當問題P的規模不超過n0時，問題已容易直接解出，不必再繼續分解。ADHOC(P)是該分治法中的基本子算法，用於直接解小規模的問題P。因此，當P的規模不超過n0時直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是該分治法中的合併子算法，用於將P的子問題P1 ,P2 ,...,Pk的相應的解y1,y2,...,yk合併爲P的解。
五、分治法的複雜性分析
一個分治法將規模爲n的問題分成k個規模爲n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模爲1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解爲k個子問題以及用merge將k個子問題的解合併爲原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模爲|P|=n的問題所需的計算時間，則有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通過迭代法求得方程的解：
遞歸方程及其解只給出n等於m的方冪時T(n)的值，但是如果認爲T(n)足夠平滑，那麼由n等於m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調上升的，從而當 mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。
七、應用示例
- [java] view plaincopy
- /*分治法——歸併排序
- * 二路歸併排序的分治策略是：
- （1）劃分：將待排序序列r1, r2, …, rn劃分爲兩個長度相等的子序列r1, …, rn/2和rn/2＋1, …, rn；
- （2）求解子問題：分別對這兩個子序列進行排序，得到兩個有序子序列；
- （3）合併：將這兩個有序子序列合併成一個有序序列。
- */
- public class MergeSort {
- /**
- * @param args
- */
- public static void main(String[] args) {
- int a[] = { 21, 34, 56, 43, 99, 37, 78, 10 };// 這裏對8個元素進行排序
- int low = 0, high = 7;// 初始化low和high的值，即數組的起始和終止的座標
- // 輔助數組b，作爲臨時數組
- int b[] = new int[a.length];
- //輸出排序前的數組
- System.out.print("排序前：");
- for (int i = 0; i <= high; i++) {
- System.out.print(a[i] + " ");
- }
- // 歸併排序
- mergerSort(a, low, high, b);
- //輸出排序後的數組
- System.out.print("排序後：");
- for (int i = 0; i <= high; i++) {
- System.out.print(a[i] + " ");
- }
- }
- /**
- * 分治和歸併
- *
- * @param a
- * @param low
- * @param high
- * @param b
- */
- public static void mergerSort(int a[], int low, int high, int b[]) {
- int mid = 0;
- if (low < high) {
- mid = (high + low) / 2;// 分治位置,即將數組拆分的位置
- mergerSort(a, low, mid, b);
- mergerSort(a, mid + 1, high, b);
- merger(a, low, mid, high, b);// 歸併
- }
- }
- /**
- * 合併兩個有序子序列
- *
- * @param a
- * @param low
- * @param mid
- * @param high
- * @param b
- * 輔助數組
- */
- public static void merger(int[] a, int low, int mid, int high, int b[]) {
- int i = low;
- int j = mid + 1;
- int p = 0;
- // 合併兩個有序數組 子序列1 a[low..mid] 子序列2 a[mid+1..high]
- while (i <= mid && j <= high) {
- b[p++] = (a[i] <= a[j]) ? a[i++] : a[j++];
- }
- // 如果子序列1沒有合併完則直接複製到複製數組中去
- while (i <= mid) {
- b[p++] = a[i++];
- }
- // 如果子序列2沒有合併完則直接複製到複製數組中去
- while (j <= high) {
- b[p++] = a[j++];
- }
- // 把輔助數組的元素複製到原來的數組中去
- for (p = 0, i = low; i <= high; i++, p++) {
- a[i] = b[p];
- }
- }