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1.引言
計算機層析成像(Computed Tomography，CT)是通過對物體進行不同角度的射線投影測量而獲取物體橫截面信息的成像技術，涉及到放射物理學、數學、計算機學、圖形圖像學和機械學等多個學科領域。CT技術不但給診斷醫學帶來革命性的影響．還成功地應用於無損檢測、產品反求和材料組織分析等工業領域。CT技術的核心是由投影重建圖像的理論，其實質是由掃描所得到的投影數據反求出成像平面上每個點的衰減係數值。圖像重建的算法有很多，本文根據CT掃描機的發展對不同時期CT所採用重建算法分別進行介紹。
2. 平行束投影重建算法
第一代和第二代CT機獲取一個單獨投影的採樣數據是從一組平行射線獲取的，這種採樣類型叫平行投影。平行投影重建算法一般分爲直接法與間接法兩大類。直接法是直接計算線性方程係數的方法，如矩陣法、迭代法等。間接法是先計算投影的傅立葉變換，再導出吸收係數的方法，如反投影法、二維傅立葉重建法和濾波反投影法等[1]。
2.1 直接法
2.1.1 矩陣法
設一個物體的內部吸收係數矩陣爲：
(1)
爲了求得該矩陣中的元素值，我們可以先計算該矩陣在T個角度下的T組投影值,如設水平方向時,則：
(2)
同樣其它角度下也有類似方程，把所有方程聯立得到求解，即可求得所有u值。
通常情況下，由於聯立方程組的數目往往不同於未知數個數，且可能有不少重複的方程，這樣形成的不是方陣，所以一般不滿秩，此時需要利用廣義逆矩陣法進行求解。
2.1.2 迭代法
實際應用中，由於圖像尺寸較大，聯立的方程個數較多，採用直接採用解析法難度較大，因此提出了迭代重建方法。迭代法的主要思想是：從一個假設的初始圖像出發，採用迭代的方法，將根據人爲設定並經理論計算得到的投影值同實驗測得的投影值比較，不斷進行逼近，按照某種最優化準則尋找最優解[2]。
通常有兩種迭代公式，一種是加法迭代公式[2]：
（3）
另一種是乘法迭代公式[2]：
(4)
兩式中 是相鄰兩次迭代的結果；是某一角度的實測投影值，是計算過程的計算投影值,是投影的某一射線穿過 點的點數，即計算投影值的射線所經過的像素的數目，是鬆弛因子。
用乘法迭代可能收斂快些，但用得少些，因計算機加法運算的速度比乘法運算速度快。
當迭代公式採用（3）式時，就是通常所說的代數重建技術（Algebraic reconstruction technique，ART），通常使用的還有其它幾種迭代方法，如同步迭代技術(Simultaneous iterative reconstruction technique,SIRT)[3]，該方法主要是爲了使重建圖像對噪聲不敏感，它是與ART並行的一種迭代重建算法，與ART不同的地方在於SIRT算法每次迭代對每個像素的校正值,不是隻與一條投影數據有關,而是通過該像素的所有投影數據的誤差值的累加,這是SIRT算法能有效地抑制測量數據中噪聲的根本原因，該算法的另一優點在於算法總是收斂的，但是它的收斂速度比較慢，並且SIRT算法重建後的圖像還存在一定程度的模糊效應。共軛梯度重建(Conjugate Gradient Method ,CGM)[3]實際上就是利用共軛梯度法求解上述方程，即在用迭代法求解方程過程中每次都用共軛向量作爲搜索方向，從而快速逼近方程的最優解。該方法不需要預先估計任何參數，並且每次迭代所需的計算，主要是向量之間的運算，便於並行化。另外，相關的的迭代重建算法有：基於最小二乘法的重建方法[3]，極大似然估計法[3]等。
2.1.3 兩種方法優缺點比較
矩陣法是利用線性代數理論來求解吸收係數矩陣，方法比較直觀，而且其求解速度通常要比迭代法要快，但是它最大問題就是適用性差，尤其當圖像尺寸較大時，求解過程變得異常困難。迭代法很好地解決了矩陣法所面臨的問題，並且這種方法還有一個優點就是能很容易地把與空間幾何相關的、與測量值條件相關的各種校正因子添加到計算過程中。
2.2 間接法
2.2.1反投影法
經典斷層成像中認爲，底片上一點的像A全部由該點密度所貢獻，而這些貢獻與像的值成正比，因此A點的像的值就可認爲是該點密度f的量度。因此反投影算法利用相同的思想，它的基本思想是：斷層平面中某一點的密度值可看作這一平面內所有經過該點的射線投影之和的平均值[4]。利用（1）（2）式中所作假設，算法可描述如下：
（5）
式中，是指在某個角度下經過像素點的射線得到的投影值，T爲投影角度的個數
反投影算法是一種比較簡單，且易於理解的算法，但由於反投影法是把從各個方向上得到的投影看作爲這個方向上的象素具有同等貢獻，鄰近結構對反投影圖像中所有點的密度都要產生影響，包括原先像素值爲零的點，因此會產生星狀僞跡。
2.2.2二維傅里葉重建算法
二維傅里葉重建的基本思想是：一個二維圖像的一維投影的傅立葉變換精確地等於過該圖像的傅立葉變換中心的直線。當旋轉投影角度時，其傅立葉變換的過中心的直線隨之旋轉[4]。其具體證明如下：
設f(x,y)表示需要重建的圖像，用p(t,θ)表示在角度獲取的f(x,y)的一個平行投影，t表示投影射線到對稱中心（即旋轉中心）的距離，設s爲於角度θ下的投影X射線平行的座標軸，它與t所在的座標軸垂直，則：
(6)
對p(t,θ)進行一維傅里葉變換
(7)
將（6）代入（7）式得到
(8)
由於圖像座標系xoy和投影座標系tos之間存在以下關係：
t = x cosθ+y sinθ (9)
s = ycosθ - xsinθ (10)
將（9）（10）式代入（8）得到
（11）
圖像f(x,y)的二維傅里葉變換爲F(u,v)
(12)
令u = w cosθ, v = w sinθ,則
F(wcosθ,wsinθ)=P(w,θ) (13)
u = w cosθ, v = w sinθ即定義了一條通過原點與u軸成θ角的直線。
如果在0到之間採集足夠多的投影，既可以填滿重建圖像的傅里葉空間，在通過反傅里葉變換就可以恢復原來圖像。
儘管二維傅里葉重建方法爲CT成像重建提供了一個直接方案，但是在真正的實現過程中還存在一些難題，首先，離散情況下，所獲得的數據爲極座標形式的離散值，爲了執行二維傅里葉反變換，必須將極座標形式的數據內插成直角座標系形式的數據，但是頻域空間的插值對圖像質量的影響非常大，因此需要開發出高級的插值算法。另一方面，二維傅里葉重建法不適用於局部目標進行重建。
2.2.3濾波反投影重建算法
2.2.3.1濾波反投影的原理
濾波反投影實際上是在反投影的基礎上先進行卷積運算。採用濾波反投影重建圖像的具體過程是，先把由檢測器上獲得的原始數據與一個濾波函數進行卷積運算，得到各方向卷積的投影函數；然後再把它們從各方向進行反投影，即按其原路徑平均分配到每一矩陣元上，進行疊加後得到每一矩陣元的CT值；再經過適當處理後就可以得到被掃描物體的斷層圖像，卷積反投影可消除單純的反投影產生的邊緣失銳效應，補償投影中的高頻成分和降低投影中心密度，並保證重建圖像邊緣清晰和內部分佈均勻[5]。
算法的具體原理如下：
由傅里葉變換知，圖像函數f（x,y)可以通過其傅里葉反變換F(u,v)中恢復，即
(14)
令 u = w cosθ, v = w sinθ，並根據(13)式
(15)
利用對稱關係P(w,θ+ π) = P(-w,θ),(14)式變爲
(16)
如果令 (17)
則(16)式重寫爲
(18)
上述(17)(18)就是濾波反投影的主要公式，(17)中的|w|表示濾波函數。
2.2.3.2濾波器的設計
在濾波反投影重建算法中，濾波函數的設計是關鍵。理想的濾波器是頻帶無限的V型濾波函數，在無窮積分區間上的積分發散，根據佩利一維納準則 ，這一理想濾波器是不可實現的。但是如果結合具體的成像過程,則不但能夠實現，而且可以達到足夠的精度。爲此，需要對理想濾波函數進行加窗處理，即只保留濾波函數的低頻段。常用濾波器如下幾種
Ramp-Lak濾波器，它實際上是直接截斷V型濾波器高頻部分的結果，該濾波函數的特點是形式簡單．重建的圖像輪廓清楚。缺點是由於在頻域中用矩形窗函數截斷了濾波函數，在相應的空域中會造成振盪響應．即Gibbs現象[5]。
把Ramp-Lak濾波器與sin(x)/x進行卷積，就得到Shepp-Logan濾波器。用Shepp-Logan濾波器重建的圖像中振盪相應較小，對含噪聲的數據重建出來的圖像質量也較Ramp-Lak濾波函數要好。但是由於該濾波函數在高頻段偏離了理想的濾波函數|w|，因而重建圖像在高頻段的響應不如R-L濾波函數[5]。
其它常用濾波器還有Hamming濾波器，它是通過Ramp-Lak濾波器與Hamming窗進行卷積而得到。Hanning濾波器，它實際上是Ramp-Lak濾波器與Hanning窗進行卷積。
2.3 直接法和間接法的比較
直接法適合於不完全投影數據的圖像重建，重建質量好。尤其是在投影數據較少時，重建圖像的密度分辨率高，也能保證較好的空間分辨率；其次，重建算法簡單，適用於不同格式的採樣數據重建；另外還可以結合一些先驗知識進行求解。但是直接法中迭代法的計算量大，重建時間長，因此限制其在醫學領域的應用。
間接法缺點是對投影數據的完備性要求較高，從數學上講，只有獲得被檢物體的完全投影數據後才能精確重建其切片圖像，但是其重建速度較快，尤其是濾波反投影很容易用軟件和硬件實現，而且在數據質量高的情況下可以重建出比較準確清晰的圖像，在平行投影時導出的濾波反投影公式可以用不同的方法修改以適應於扇形掃描投影的情況[6]，由於它具有以上特點，因此廣泛應用於醫學領域。在後面的實驗中將對上述兩種重建方法進行比較。
3.扇形束CT的重建
由於平行束CT裝置掃描時間太長，因此這樣的掃描方式只能用來進行斷層掃描，不能用來觀察動態臟器，而且速度太慢，限制了醫學應用，爲了提高掃描數據採集的速度而從第三代以後的CT改用扇束掃描[4]。
扇形束CT投影如圖1所示，其中S代表光源，代表扇束的中間射線SO與y軸的夾角，表示扇束內任意與中間射線的夾角，D表示光源到原點O的距離。扇形束重建公式如下：
（19）
其中 tm對應平行投影中投影射線到即旋轉中心的距離
爲扇束投影
圖1 扇形束CT投影
4.螺旋CT的重建
4.1 螺旋CT介紹
螺旋CT（Spiral CT ,SCT）是指X線球管及探測器在不間斷掃描和數據採集期間，掃描牀持續同步前移CT裝置，其X線掃描軌跡爲一螺旋形曲線，可以一次收集到掃描範圍內全部容積的數據，故又稱螺旋容積掃描[7]。
SCT是CT技術的重大革新，它有許多超越常規CT的優點：SCT擴展了傳統CT的能力，使之能夠在一次屏氣週期內掃描整個器官。另外，SCT採集的是容積數據（三維信息）可內描重建任意數量的重疊圖像，然後按臨牀需要進行多平面或三維重建、圖像清晰、直觀，重建圖像質量大大提高。
4.2 螺旋CT重建算法
由於螺旋CT在掃描的同時，掃描牀的等速移動導致每一週掃描的起點和終點不在同一平面因此在圖像重建前必須對原始數據相鄰點內用線性內插法進行校正。下面介紹兩種重建算法
4.2.1 基於360度插值的重建算法[7]
該方法的基本思想是：利用螺旋掃描方式進行掃描，然後利用所得到的角度的數據來模擬平面的掃描數據，然後利用扇形束的重建方法進行重建，插值後的投影數據的具體公式是
（20）
式中，x表示到重建平面的距離，d表示隨機架旋轉360度病牀移動的距離。
這種方法的優點是簡單容易，然而它的不足時切片方向靈敏度曲線明顯下降。
4.2.2 扇形束螺旋CT重建算法[4]
這種方法是利用反投影的過程，通過在濾波反投影之前對投影乘以權值完成投影插值，因此該算法的具體公式如下：
（21）
式中，D是X射線源到中心的距離，L是X射線源到重建點的距離，是探測器角度，是視角，是螺旋數據集的起始角度，是數據集的角度跨度，是扇形束投影，是濾波函數，是加權函數，
該方法的優點是計算效率高，對空間分辨率的影響小。
5. 多層螺旋CT重建算法
5.1 多層螺旋CT介紹
多層螺旋CT是繼螺旋CT後的又一次重大技術性突破，多層螺旋CT與以往單層螺旋CT相比較， 其特點在於它在探測器結構和數據處理系統兩方面作了根本性的改進，多排探測器陣列可謂多層螺旋CT的心臟。多層螺旋CT中將單排探測器（900個左右的探測器單位）改進爲幾排甚至幾十排探測器，即多層螺旋CT在Z軸方向上有數萬個探測器呈二維陣列，目前的設計爲8-34排。
多層螺旋CT能將常規CT的三個相互制約的因素，即分辨率(薄層厚)、覆蓋面和速度有機地結合起來，可根據臨牀需要，通過探測器陣列下方的電子開關啓動中心小部分或較大部分或全部探測器，從而可獲得探測器的不同組合，形成不同層厚的掃描，達到高分辨、高速或廣覆蓋的不同要求。與普通CT相比，多層螺旋CT有許多優點：掃描速度快，最多可將時間縮短爲1/6-1/8、病人被X線損傷小、照射量減少了15%-40%、空間分辨率高、採集信息量大、降低了造影劑用量等[4]。
5.2 多層螺旋CT重建算法
最大程度地降低甚至消除投影數據的不相容性，是螺旋CT圖像重建中要解決的關鍵問題，也是各類算法的核心。一般的處理方法是對原始投影數據進行加權(插值)。根據不同的加權方案，可將多層螺旋CT重建算法分成兩大類:(l)Full-scan類算法。(2)Half-scam類算法。前者經加權處理後獲得成像斷層平面在範圍內的扇束投影數據。後者將原始數據重排組合消除冗餘後加權得到的是範圍內的投影數據[7]。兩種算法有如下共同特徵：
（1）成像斷層平面POR垂直Z軸且位於插值區間[PL,PU]的中心。
（2）通常採用線性插值，插值節點、投影數據集合分佈於的兩側。
（3）一般較理想的加權函數應具有對稱性和連續性的特點。
6. 實驗及分析
本文對ART和濾波反投影算法進行仿真模擬，實驗圖像採用Shepp-Logan頭部模型圖。圖像尺寸爲128*128，256級灰度， 實驗結果如下：
圖2 平行投影下重建圖像，左圖爲原圖，中間爲ART重建後
的圖像，右圖爲濾波反投影重建的圖像（濾波器爲Shepp-Logan）
圖3 差分圖像（即重構圖像減去原圖像後的圖像）對比
左邊是ART重建後的差分圖像，右邊是濾波反投影重建後的差分圖像
由實驗結果，尤其是差分圖像從差分圖像上可以看出ART重構圖像中噪聲相對而要較少，濾波反投影重建後的圖像中邊緣與原圖像差距較大，原因是因爲Shepp-Logan濾波器對高頻部分進行了抑制。
實驗中ART重建圖像所用時間爲1612s，而濾波反投影重建所需時間爲11s，ART重建的時間將近是濾波反投影的150倍。
7.總結
本文介紹了CT影像重建的基本模型和原理，並較全面的的對常用的CT影像重建技術進行了對比分析，最後通過一個實驗對平行束投影重建算法中的ART和濾波反投影算法進行了模擬，並對實驗結果進行了分析。隨着醫學的發展，生活水平的提高，如何利用CT更快地重建出質量更好的圖像，是當前最主要的任務之一，因此本文除了對CT成像算法進行分析，計算機模擬外，其最大的作用也是爲以後的學者做一個鋪墊，共同研究在該領域有待研究的技術和理論上的難題。
參考文獻
[1] 章毓晉. 圖像處理和分析教程.人民郵電出版社，2009,11.
[2] 張順利.ART算法幾種重建模型的研究和比較.航空計算技術，第35卷第2期，2005，6.
[3] 高欣. 新型迭代圖像重建算法的研究與實現. 博士論文.2004.
[4] Jiang Hsieh. 計算機斷層成像技術原理、設計、僞像和進展. 科學出版社,2006,2.
[5] 張順利,李衛斌,唐高峯.濾波反投影圖像重建算法研究.咸陽師範學院學報,第23卷第4期,2008,7.
[6] 張朋，張兆田. 幾種CT圖像重建算法的比較.第九屆中國視體學與圖像分析學術會議，2001.
[7] 劉衝.多層螺旋CT掃描圖像重建算法的研究.碩士論文，2006，2.
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