卡特蘭數

簡介

　　中文:卡特蘭數
　　Catalan數是組合數學中一個常出現在各種計數問題中出現的數列。由以比利時的數學家歐仁·查理·卡塔蘭 (1814–1894)命名。
　　原理：
　　令h(0)=1,h(1)＝1,catalan數滿足遞歸式：
　　h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + + h(n-1)h(0) (其中n>=2)
　　該遞推關係的解爲：
　　h(n)=C(2n,n)/(n + 1) (n=1,2,3,)
       另類遞歸式： h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);
　　
　　前幾項爲 （OEIS中的數列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452,
應用

　　我總結了一下，最典型的四類應用：（實質上卻都一樣，無非是遞歸等式的應用，就看你能不能分解問題寫出遞歸式了）
1.括號化問題。

　　矩陣鏈乘： P=a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的乘積，試問有幾種括號化的方案？(h(n)種)
2.出棧次序問題。

　　一個棧(無窮大)的進棧序列爲1,2,3,..n,有多少個不同的出棧序列?
　　類似：
　　(1)有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
　　(2)在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
3.將多邊行劃分爲三角形問題。

　　將一個凸多邊形區域分成三角形區域的方法數?
　　類似：一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她
　　從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？
　　類似：在圓上選擇2n個點,將這些點成對連接起來使得所得到的n條線段不相交的方法數?
4.給頂節點組成二叉樹的問題。

　　給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？
　　(一定是二叉樹!
　　先去一個點作爲頂點,然後左邊依次可以取0至N-1個相對應的,右邊是N-1到0個,兩兩配對相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + + h(n-1)h(0)=h(n))
　　（能構成h（N）個）