P1600 天天愛跑步（樹上差分，桶思想，最近公共祖先）

P1600 天天愛跑步

題目描述

給定一棵樹和一些路徑，每個點有一個點權，求每個點點權恰好等於路徑上的訪問排位的數量.

舉個例子：$s->t$經過了點$k$，點$k$的權值爲$w$且點$k$恰好是這條路徑上第$w+1$個點（路徑上第一個點$s$的訪問排位爲0），則$ans[k]++$.

題目分析

25pts：

隨便亂搞都可以. 我採用的方法是在線處理每條路徑，用樹剖的方法把路徑剖下來，然後再與標準比較，如果$w$和次序相同那麼這個點的$ans++$，時間複雜度$O(nmlog^2n)$. 能過$25\%$的數據.

評測記錄

100pts：

我們需要轉換思路. 每次的一條鏈不能對每一個元素都進行操作，否則時間快不上來.

那我們就想到了一種更加簡單的對樹上區間進行操作的方法

樹上差分：

關於差分和樹上差分的淺談

差分通常是和前綴和結合起來的，比如說以上博文的例子，如果覆蓋了，那麼在區間前端加一，在區間末端減一.

這樣，我們就相當於給區間打了標記，不用每次給出一段區間時都處理，而是最後再使用一個差分數組，統一處理標記，複雜度自然就下來了.

樹上差分也是一樣. 通過打標記的方式，來把對區間處理的複雜度由$O(n)$降爲$O(1)$.

比如說，我們有這樣一條路徑

對於這條路徑，我們這樣打上標記

我們在計算一個點被多少條路徑經過時，只要統計在它的子樹中的標記的和就可以了.

值得注意的是，兩個-1的標記，一個打在$lca$上，另一個打在$fa[lca]$上，這樣可以保證$lca$不會因爲是兩段的交集而重複計算路徑數.

這樣子，我們把原來每條路徑上的點處理一次，總的處理複雜度爲$O(n^2)$，變成了每條路徑進行$O(1)$處理，最後再用一次$dfs$ $O(n)$算出每個點的覆蓋次數，從而大大降低了時間複雜度.

不難發現，我們同樣可以把以上差分的處理方法運用到這道題上.

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桶思想：

簡而言之，桶就是不論裏面的東西是什麼，而只看裏面的東西有多少.

關於桶這一思想，可以參見另外一篇博客：（留坑待填）

我們首先要對這一題的題目條件進行轉換.

不難發現，對於任意一個在某一條路徑上的點$x$，如果這條路徑對這個點的答案有貢獻，那麼必定滿足以下條件之一：

1.如果這個點在$s->lca$上，那麼$dep[x]-dep[u]=w[x]$；
2.如果這個點在$lca->t$上，那麼$dep[u]-dep[lca]+dep[x]-dep[lca]=w[x]$.

由以上兩個條件，可以發現：

對於式1，$dep[u]=w[x]+dep[x]$，等號右邊是定值，由上面的差分思路可知，我們只要找到所有在$x$的子樹中且深度爲$dep[u]$的點的數量即可.
對於式2，$dep[u]-2*dep[lca]=w[x]-dep[x]$，等號右邊是定值，這裏不方便找點，我們改爲找一個桶的大小，只需要找到在子樹中值爲$dep[u]-2*dep[lca]$桶的大小即可.

那麼思路就很明顯了，我們開兩組桶，每個桶裏面儲存的是恰好滿足條件的路徑的數量，比如說$bucket1[dep]$就表示了起始點深度爲$dep$的路徑的多少，$bucket2[dep]$表示了滿足$dep[u]-2*dep[lca]$的路徑的數量多少.

爲什麼要開兩個桶數組呢？因爲對於每個點$x$，我們要查詢的桶都有兩個，$w[x]+dep[x]$和$w[x]-dep[x]$.

此外，第二個數組可能發生$dep[u]-2*dep[lca]<0$的情況，爲了防止這種情況出現，我們還需要給第二個桶的容量統一加上$maxn$.

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到這裏這道題就基本做完了. 倍增求lca是樹上差分的套路就不講了 但是還需要考慮一些其他的東西：

1.當一個點同時滿足以上兩個式子的時候，$ans$會重複計算，多算一次路徑的貢獻. （這裏和普通樹上差分不太一樣）

上面的兩個式子
$dep[u]-2dep[lca]=w[x]-dep[x]$
$dep[u]=w[x]+dep[x]$
因爲$dep[u]$相同，所以聯立得
$w[x]-dep[x]+2dep[lca]=w[x]+dep[x]$，
$dep[x]=dep[lca]$，也就是說，如果$lca$滿足其中一個式子，它必定滿足另一個，所以如果$lca$滿足一個式子，$ans[lca]$
要-1，以抵消多算一次的影響.

2.一個點的$ans$應該取未訪問它的子樹之前和訪問它的子樹之後的差值，以防止非同一子樹的桶的元素造成的影響.

3.桶的大小要開夠.

參考資料

程序實現

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 300010
using namespace std;
struct edge{
	int v,next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],tot;
void add(int u,int v){
	e[++tot].v =v;
	e[tot].next =head[u];
	head[u]=tot;
}
int dep[maxn],fa[maxn][30];
void dfs1(int u,int pre){
	dep[u]=dep[pre]+1;
	fa[u][0]=pre;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next ){
		int v=e[i].v ;
		if(v==pre)continue;
		dfs1(v,u);
	}
}
int LCA(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(dep[fa[u][i]]>=dep[v])u=fa[u][i];
	}
	if(u==v)return u;
	for(int i=20;i>=0;i--){
		if(fa[u][i]==fa[v][i])continue;
		u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	}
	return fa[u][0];
}
int ans[maxn],wt[maxn];
map<int ,int >add_start[maxn],add_to[maxn],lca_start[maxn],lca_to[maxn];
int bucket1[maxn<<1],bucket2[maxn<<1];
int sums[maxn],sumt[maxn],minus1[maxn],minus2[maxn];
void dfs2(int u,int pre){
	int t1=bucket1[wt[u]+dep[u]],t2=bucket2[wt[u]-dep[u]+maxn];
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next ){
		int v=e[i].v ;
		if(v==pre)continue;
		dfs2(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=sums[u];i++)bucket1[add_start[u][i]]++;//差分爲了保證準確性，通常都是先加後減
	for(int i=1;i<=sumt[u];i++)bucket2[add_to[u][i]]++;//相應的桶++
	ans[u]+=bucket1[wt[u]+dep[u]]-t1+bucket2[wt[u]-dep[u]+maxn]-t2;//計算增量
	for(int i=1;i<=minus1[u];i++)bucket1[lca_start[u][i]]--;
	for(int i=1;i<=minus2[u];i++)bucket2[lca_to[u][i]]--;//相應的桶--
}
int n,m;
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,u,v;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);add(v,u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&wt[i]);
	dfs1(1,1);
	for(int j=1;j<=20;j++)
		for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
	for(int i=1,s,t,lca;i<=m;i++){
		scanf("%d%d",&s,&t);
		lca=LCA(s,t);
		add_start[s][++sums[s]]=dep[s];//用map存：在這個點的位置桶dep[s]++
		add_to[t][++sumt[t]]=dep[s]-2*dep[lca]+maxn;//同上
		lca_start[lca][++minus1[lca]]=dep[s];//這個桶在lca的位置--
		lca_to[lca][++minus2[lca]]=dep[s]-2*dep[lca]+maxn;
		if(dep[lca]+wt[lca]==dep[s])ans[lca]--;//如果一個點是lca又滿足條件，則要防止重複計算路徑
	}
	dfs2(1,1);
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",ans[i]);
	return 0; 
} 

題後總結

1.桶是非常重要的一種思想，桶可以用來存滿足某個條件的數的數量，比較方便.

但是使用桶，就要求數據範圍不是很大，否則佔用空間就太多了.

對於全局桶的應用：記錄它對某次計算的貢獻可以統計他的增量.

2.對於樹上的區間操作：

區間是否便於用線段樹維護？是則使用樹鏈剖分，否則使用差分或者差分思想.

使用差分思想：題意給出的（可能隱藏的）式子能否轉換成便於差分維護/便於用差分思想維護（這種情況下通常是桶）的形式？