N的階乘末尾有多少個0

問題：N的階乘(N!)中的末尾有多少個0?

     例如:N = 5,N! = 120.末尾有1個0.

 

分析:想到這個問題，有人可能第一反應就是現求出N!,然後再根據求出的結果，最後得出N!的末尾有多少個0。但是轉念一想，會不會溢出，等等。

     其實，從"那些數相乘可以得到10"這個角度，問題就變得比較的簡單了。

     首先考慮，如果N的階乘爲K和10的M次方的乘積，那麼N!末尾就有M的0。如果將N的階乘分解後，那麼

     N的階乘可以分解爲： 2的X次方，3的Y次方，4的5次Z方，.....的成績。由於10 = 2 * 5,所以M只能和X和Z有關，每一對2和5相乘就可以得到一個10，於是M = MIN(X,Z),不難看出X大於Z，因爲被2整除的頻率比被5整除的頻率高的多。所以可以把公式簡化爲M=Z.

     

     由上面的分析可以看出，只要計算處Z的值，就可以得到N!末尾0的個數

方法一

    要計算Z，最直接的方法就是求出N的階乘的所有因式(1,2,3,...,N)分解中5的指數。然後求和

    

int fun1(int n)
{
    int num = 0;
    int i,j;
    
    for (i = 5;i <= n;i += 5)
    {
        j = i;
        while (j % 5 == 0)
        {
            num++;
            j /= 5;
        }
    }
    
    return num;
}

方法二：

Z = N/5 + N /(5*5) + N/(5*5*5).....知道N/(5的K次方)等於0

公式中 N/5表示不大於N的數中能被5整除的數貢獻一個5，N/(5*5)表示不大於N的數中能被25整除的數再共享一個5.......

int fun2(int n)
{
    int num = 0;
    
    while(n)
    {
        num += n / 5;
        n = n / 5;
    }
    
    return num;
}