Peano自然數公理系統

 皮亞諾公理，也稱皮亞諾公設，是數學家皮亞諾(皮阿羅)提出的關於自然數的五條公理系統。根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

①1是自然數；

②每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，1的後繼數是2，2的後繼數是3等等）；

③如果b、c都是自然數a的後繼數，那麼b = c；

④1不是任何自然數的後繼數；

⑤任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數1是對的，又假定它對自然數n爲真時，可以證明它對n' 也真，那麼，命題對所有自然數都真。(這條公理也叫歸納公設，保證了數學歸納法的正確性)

若將0也視作自然數，則公理中的1要換成0。

更正式的定義如下：

一個戴德金-皮亞諾結構爲一滿足下列條件的三元組(X, x, f)：

X是一集合， x爲X中一元素，f是 X 到自身的映射

x 不在 f的值域內.

f 爲一單射.

若A 爲X的子集並滿足:

x屬於 A, 且

若 a 屬於 A, 則 f(a) 亦屬於 A

則 A = X.

該公理與由皮阿羅公理引出的關於自然數集合的基本假設:
1.P(自然數集)不是空集
2.P到P內存在a->a直接後繼元素的一一映射
3.後繼元素映射像的集合是P的真子集
4.若P任意子集既含有非後繼元素的元素,又有含有子集中每個元素的後繼元素,則此子集與P重合.
能用來論證許多平時常見又不知其來源的定理!
例如:其中第四個假設即爲應用極其廣泛的歸納法第一原理(數學歸納法)的理論依據.