八皇后問題各種解法分析

遞歸與回溯：

   a.回溯算法的基本思想：從問題的某一種狀態出發，搜索可以到達的所有狀態。當某個狀態到達後，可向前回退，並繼續搜索其他可達狀態。當所有狀態都到達後，回溯算法結束！

   b.對於回溯算法，在前面KMP匹配中就利用了這個思想，只不過當時KMP中定義了一個node數組(起到了一個地圖的作用，記錄了每種回溯情況的可能)。而這節中，是利用函數的活動對象保存回溯算法的狀態數據，因此可以利用遞歸完成回溯算法！

2.八皇后問題：

   a.問題背景：國際象棋是一個8*8的矩陣，在棋盤中同時放下8個皇后，且互相不攻擊的情況叫八皇后問題

   b.如圖，說明八皇后問題中的回溯算法：

      

注意：其實就是不斷的通過遞歸函數，去往棋盤中嘗試放皇后，成功就繼續遞歸(即繼續放皇后)，失敗就跳出遞歸函數，回溯到上層遞歸函數中，上層遞歸函數中保存着上一個皇后的位置！！！這就是八皇后中，回溯的概念！

    c.八皇后的算法思路：

       第一、爲了更加方便我們表示棋盤，我們使用一個10*10的二維數組來表示8*8的棋盤加棋盤邊框。

char board[10][10];

       第二、初始化棋盤，把棋盤邊框標記爲'#'，把棋盤中的位置都標記爲‘ 空格 ’

void init()
{
    int i = 0;
    int j = 0;

    for(i=0; i<N+2; i++)
    {
        board[0][i] = '#';
        board[N+1][i] = '#';
        board[i][0] = '#';
        board[i][N+1] = '#';
    }

    for(i=1; i<=N; i++)
    {
        for(j=1; j<=N; j++)
        {
            board[i][j] = ' ';
        }
    }
}

       第三、定義一個棋盤的打印函數display()，方便測試

void display()
{
    int i = 0;
    int j = 1;

    for(i=0; i<N+2; i++)
    {
        for(j=0; j<N+2; j++)
        {
            printf("%c", board[i][j]);
        }

        printf("\n");
    }
}

      第四、我們定義一個檢查的函數check()，來判斷這個位置是否可以放皇后，對於檢查，我們檢查三個方向，左上(-1,-1) 、 右上(-1,1)  、正上(-1,0)   對於橫排我們是不檢測的，因爲我們每一排就放一個皇后，皇后用' * '來表示！

typedef struct _tag_pos //定義一個數據結構來充當方向
{
    int i;
    int j;
}Pos;
/*檢測三個方向  左上  右上  正上   橫排是不檢測的 因爲一排只放一個*/
static Pos pos[3] = {{-1,-1},{-1,1},{-1,0}};

int check(int i, int j)
{
    int p = 0;
    int ret = 1;
    for(p = 0; p < 3; p++) //檢測三個方向
    {
        int ni = i;
        int nj = j;

        while(ret && (board[ni][nj] != '#'))//判斷沒有到達棋盤邊界
        {
            ni = ni + pos[p].i;
            nj = nj + pos[p].j;

            ret = ret && (board[ni][nj] != '*');//判斷這個方向沒有放過皇后
        }
    }
    return ret; //可以放皇后返回1  不可返回0
}

      第五、是八皇后算法的核心，就是放皇后的函數find()，這個函數是這樣的！先從第一行開始，進行對列數j的for循環，在for循環中判斷(i,j)是否可以放皇后，一旦可以放皇后，就放置一個皇后，然後find(i+1)，進入第二行(即第二層遞歸)。繼續做同樣的判斷，這個遞歸函數有兩個出口，同理，就有兩種情況結束遞歸，一種是，i超過了第八行，也就是說，皇后全部放置完全，所以應該display()打印！另一種是，for循環結束，依然沒有check()成功，說明前面有皇后放錯了！導致這一行不能放皇后！應該進行回溯！！！所以結束這個錯誤的遞歸，返回到上一層遞歸，清除上層遞歸中放錯的皇后   board[i][j] = ' ';  繼續進行上一行的for循環！！！這裏需要補充的是，即使i超過了第八行，皇后放置完全了，函數依然也會返回到上一行，去進行上一行的for循環，擦除皇后位置，嘗試尋找新八皇后的情況！！！

void find(int i)
{
    int j = 0;
    if(i > N) //判斷是否已經超過了第八行
    {
        coust++; //計算八皇后情況的個數
        display();
        //getchar();
    }
    else
    {
        for(j = 1; j <= N; j++) //判斷一行 是否有匹配的位置
        {
            if(check(i,j))
            {
                board[i][j] = '*'; //放置皇后
                find(i+1);
                board[i][j] = ' '; //清除放錯的皇后
            }
        }
    }
}

注意：之所以說，八皇后中利用遞歸來進行回溯，就是因爲當遞歸結束的時候，會返回到上一層放置皇后的位置(即棧空間中，保存了上行皇后i，j的情況)
看着上面的動態想象下，當有時候，出現過的皇后又消失了，就是因爲for循環結束了，還沒有check成功，導致遞歸結束，返回到上層遞歸，並且擦除上層皇后的位置，並且繼續for循環，如果這層for中check依然不成功，繼續回溯，這個消失的過程就是回溯過程！與動圖不同的是，我們的程序，不會在找完一種情況後就結束！即使成功匹配，程序也會向上層回溯，去尋找其它的情況，直到第一行for循環結束(即 i=1 的時候)，程序纔會停止！

本節代碼：

八皇后問題的完整代碼：

#include <stdio.h>

#define N 8

static char board[N+2][N+2];
static int coust = 0; //記錄八皇后個數
typedef struct _tag_pos //定義一個數據結構來充當方向
{
    int i;
    int j;
}Pos;
/*檢測三個方向  左上  右上  正上   橫排是不檢測的 因爲一排只放一個*/
static Pos pos[3] = {{-1,-1},{-1,1},{-1,0}};


void init()
{
    int i = 0;
    int j = 0;

    for(i=0; i<N+2; i++)
    {
        board[0][i] = '#';
        board[N+1][i] = '#';
        board[i][0] = '#';
        board[i][N+1] = '#';
    }

    for(i=1; i<=N; i++)
    {
        for(j=1; j<=N; j++)
        {
            board[i][j] = ' ';
        }
    }
}

void display()
{
    int i = 0;
    int j = 1;

    for(i=0; i<N+2; i++)
    {
        for(j=0; j<N+2; j++)
        {
            printf("%c ", board[i][j]);
        }

        printf("\n");
    }
}

int check(int i, int j)
{
    int p = 0;
    int ret = 1;
    for(p = 0; p < 3; p++) //檢測三個方向
    {
        int ni = i;
        int nj = j;

        while(ret && (board[ni][nj] != '#'))//判斷沒有到達棋盤邊界
        {
            ni = ni + pos[p].i;
            nj = nj + pos[p].j;

            ret = ret && (board[ni][nj] != '*');//判斷這個方向沒有放過皇后
        }
    }
    return ret; //可以放皇后返回1  不可返回0
}

void find(int i)
{
    int j = 0;
    if(i > N) //判斷是否已經超過了第八行
    {
        coust++; //計算八皇后情況的個數
        display();
        //getchar(); //起到斷點的作用
    }
    else
    {
        for(j = 1; j <= N; j++) //判斷一行 是否有匹配的位置
        {
            if(check(i,j))
            {
                board[i][j] = '*'; //放置皇后
                find(i+1);
                board[i][j] = ' '; //清除放錯的皇后
            }
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    //display();
    find(1);
    printf("coust is %d \n",coust);
    return 0;
}

注意：八皇后問題，一共有92種情況！