輾轉相除法求得最大公約數的證明

　　描述：關於輾轉相除法的具體實現在這裏就不具體說明了，本文要記錄的是輾轉相除法應用於求最大公約數的算法證明過程。

　　假設：

1. 求m和n的最大公約數。
2. a,b分別是m除以n的商和餘數，即m=na+b。
3. gcd(m,n)表示m和n的最大公約數。

　　求證：gcd(m,n)=gcd(n,b)

　　證明：

　　　　設c=gcd(m,n), d=gcd(n,b)

　　1.　∵c爲m和n的公約數

　　　　∴m能被c整除，n也能被c整除

　　　　∴na也能被c整除  參照推論一

　　　　∴m-na也能被c整除(即b能c整除)  參照推論二

　　　　∴c爲n和b的公約數

　　　　∵d爲n和b的最大公約數

　　　　∴c≤d

　　2.　同理可證 d≤c

　　　　∵d爲n和b的公約數

　　　　∴n能被d整除，b也能被d整除

　　　　∴na也能被d整除  參照推論一

　　　　∴na+b也能被d整除(即m能d整除)  參照推論二

　　　　∴d爲m和n的公約數

　　　　∵c爲m和n的最大公約數

　　　　∴d≤c

　　綜上所述：c=d，即gcd(m,n)=gcd(n,r)

 

        推論一：若a能被b整除(a=tb)，則如果k爲正整數，則ka也能被b整除(ka=ktb)。

        推論二：若a能被c整除，b也能被c整除，則(a±b)也能被c整除。

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