算法導論有趣題——4-2,6-3

4-2：

題目描述：

某數組A[1,2,...n]含有所有從0到n的證書，但其中一個整數不在數組中。通過輔助數組B[0,...n]來記錄A中出現的整數

（1）在O（n）時間找到缺失整數

（2）若數組中每個數值是二進制的，不能直接對每個數取出其數值，則如何找到缺失

解答：
（1）遍歷數組A，將每個出現的值存儲在B中下標對應值，之後遍歷一次B即可

eg:

for val in A:
    B[val] = 1

for i in range(len(B)):
    if B[i] == 0:
        return i

（2）使用異或操作來處理。1^0 = 0,1^1 = 0,0^0 = 0,既：兩個相等的數異或結果爲0，而0與任何數異或得該數本身。因此，將A中的值與0~n異或，得到的結果就是缺失的整數。

6-3：

題目描述：Young 氏矩陣：從左到右遞增，從上到下遞增。

（1）插入一個新元素的算法及複雜度

（2）對n*n個數使用young氏矩陣排序的複雜度爲O（n^3）

（3）在m*n矩陣中找到一個給定數，複雜度O（m + n）

解答：

（1）在矩陣右下角插入新元素。若新元素大於上方與前方的元素，則插入成功。否則， 將新元素往小的方向比較交換過去。最壞情況的複雜度爲：走到了左上角O（n+m）

void insert(vec,i,j)
{
    //此處僅提供參考思想，不具體涉及邊緣控制
    curr = vec[i][j];
    left = vec[i][j-1];
    up = vec[i-1][j];
    if(curr >= left && curr >= up)
        return;  //找到合適位置
    else if(curr < left)
        insert(v,i,j-1)
    else
        insert(v,i-1,j)
}

（2）對 n * n 個元素使用Young矩陣，每個元素插入該矩陣的複雜度是O（n+n）,則，總的複雜度爲O（2n*n*n） = O(n^3)。對一個Y矩陣，左上角爲最小值，最左一列遞增，最頂一行遞增，則使用合併排序中的摸牌式合併方法，O（m+n）的複雜度就可以排序好第一列與第一行。同樣的方法。遍歷整個矩陣一次，就可以完成排序

（3） 從左下角起尋找元素。若當前值小於需要值，則往右；若當前值大於需要值，則往上。複雜度爲O（m + n）